基于“运算”实质的单元内容进阶分析及教学建议

【摘

要】运算的意义和计算的方法构成了运算教学的核心内容。以“整数加减法”为例，研究团队基于运算教学实质划分单元教学内容的进阶层级，并提出教学建议：在幼小衔接视角下整体规划整数加减法教学内容；基于丰富的情境类型，有层次地引导学生多角度理解运算意义；合理安排教学单元，围绕学生认知难点（升阶点）整合教学任务。【关键词】运算的意义；运算方法；整数加减法；学习进阶数的运算有两种含义：一是对数量关系的表达，如加法表示两个数量的合并；二是对数的计算的操作。一般将前者称为运算的意义，用于分析问题和解决问题；将后者称为计算的方法，用于获得数运算的结果。［1］在学习整数加减法时，学生一方面要判断“解决这一问题到底是用加法还是减法”，另一方面要正确计算出结果，并体会加法与减法本质上都是“对计数单位的操作”。因此，运算的意义、计算方法（包括算理与算法）共同构成了运算教学内容的整体框架。随着问题情境越来越复杂，数的运算逐渐过渡到数量关系和问题解决。也就是说，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版課标”）中提出的“数量关系”主题，实际上是运算意义和计算方法（包括算理与算法）在更高阶思维上的体现。“整数加减法”内容在幼儿园阶段就已经有所涉及，并在现行小学阶段的教材中从一年级一直持续到三年级，是一个跨越了多个年级的教学“大单元”。对于这部分内容，现行教材大多会编排7～9个教学单元，内容较为琐碎零散，并不利于学生结构化思维的建立。如何分析运算内容的进阶，整体把握单元教学内容？学生的“升阶点”有哪些？在哪些地方可以实现教学内容的结构化整合？下面以“整数加减法”内容为例，对这些问题进行探讨并提出教学实施建议。一、整数加减法运算意义的进阶分析在小学阶段，对运算意义的理解主要体现为能够正确表征情境中的数量关系，从具体情境中抽象出加法、减法模型来解决问题。加减法运算意义的教学需要给学生提供不同的问题情境。1983年，卡朋特和默泽尔详细研究了加减法应用题，并根据语义结构将其划分为四种类型：变化型、结合型、比较型和相等型［2］。在这四种类型中，相等型与比较型的数学结构极为相似，故相等型的题目可以直接转化为比较型来描述。如相等型（加法）题目“小明有5颗弹珠，如果小红减少8颗弹珠就和小明的弹珠一样多，小红有多少颗弹珠”可以改变为比较型“小明有5颗弹珠，小红比小明多8颗弹珠，小红有多少颗弹珠”。又如相等型（减法）题目“小明有8颗弹珠，小红有5颗弹珠，小红还需要几颗弹珠就跟小明的弹珠一样多”可以改变为比较型“小明有8颗弹珠，小红有5颗弹珠，小明比小红多几颗弹珠或小红比小明少几颗弹珠”。比较型的语义描述更符合人们的语言表达习惯，而相等型的题意表达则较为拗口。在小学数学教材中，比较型较为常见，相等型则较少，但有部分版本（如苏教版）教材专门编排了此类型题目。1990年，卡朋特将加法、减法的情境类型进行了调整，表述为“部分—部分—整体、合并、分开和比较四个类型”［3］，其中“部分—部分—整体”对应前文中的结合型，“合并”对应前文中的变化型，同时删减了相等型，增加了“分开”，具体如表1所示。进一步进行分析，“部分—部分—整体”是静态的情境模型；“合并（拿来）”与“分开（拿走）”是动态的情境模型，两者表征的都是同一个主体所拥有的物体数量的变化；“比较”涉及两个不同主体所拥有的物体数量之间的多少关系，这种类型的题目最初可以通过“一一对应”的方式来解决，当数量变多时，再逐渐过渡到计算。四种类型的加减法情境本质上可分为两大类：一类是数量变化型，另一类是数量比较型。由此，整数加减法意义的结构变得更为清晰，且四种类型都可以从现行各个版本教材中找到样例。对于学生而言，加减法现实情境的不同类型，在理解的难度和层级上存在差异，这种难易程度或者差异就构成了学生学习整数加减法意义时的进阶水平。每一“阶”都有学生学习的困难点或生长点（即“升阶点”），但有的“阶”跨度不大，有的“阶”则跨度较大，跨度大的“阶”就是教学中需要着重突破的地方。从学生认知的角度出发，学生理解相同类型加法和减法意义的难度不一定相同。例如，在加法情境中，静态的“部分—部分—整体”是学生最容易理解的，动态的“分开”情境则是减法的最初模型。基于此，可大致将加减法意义的进阶划分为五个层级，如表2所示。情境的变化会给学生理解加减法意义带来困难。动态的“分开”在减法情境中处于第一个层级，而在加法情境中，理解起来要困难得多，明明是“拿走”的情境却要用“合并”的思维。同样地，在加法情境中理解起来较为容易的动态的“合并”，如果转化为减法情境，理解起来就会有一定的难度。对于静态的“部分—部分—整体”和“比较”，学生在进行加减法意义转换时理解起来相对简单。而针对动态的“合并”与“分开”，学生理解时容易混淆加减法意义，尤其是涉及情境复杂的加减混合运算问题时，理解起来就更加困难。各个版本教材的编排逻辑大体上都遵循了这样的内容进阶路径，但也存在一些有待改进之处。如一些有难度的、层级较高的问题情境，没有作为例题而是作为习题呈现，这就导致习题与例题之间的跨度过大，给学生造成理解上的困难。因此，教师在进行教材分析时，需要整体梳理例题和习题，甚至是一些考试评价，以及测评题目的类型与进阶层级，而不能只单纯关注例题。二、整数加减法计算方法（含算理）的进阶分析在小学阶段，数的运算对象包括整数、小数、分数三类。整数加减运算在所有的四则运算中是最基础的，理解和计算相对容易。然而，对于低年级的学生而言，这依然存在着进阶性和层级性。其中，起到关键作用的就是“计数单位”。一个整数的位数越多，其结构就越复杂，运算中所涉及的计数单位就越多，运算起来也就越有难度，这也体现了数与运算的一致性。基于上述分析，笔者提炼出整数加减法计算方法（含算理）的三个关键进阶变量：位数、参与运算的计数单位个数、计数单位转化的次数。据此划分整数加减法计算方法（含算理）的进阶层级，各个教学单元涉及的层级如表3所示。一位数加减一位数处于第1个层级，这时只有一个计数单位“一”参与运算。整十（百）数加减整十（百）数时，尽管运算对象已经进阶到两、三位数，但由于只有一个计数单位“十”或“百”参与运算，在理解的层级上并没有太大跨越。然而同样是两、三位数加减，非整十、整百数的加减就有多个计数单位参与运算。如果两个加数的位数不同，还需要根据算理判断哪个数位上的数跟哪个数位上的数相加、减。涉及进、退位时则更为复杂，要利用相邻计数单位的“十进”关系，或将小单位聚合为大单位，或将大单位转化为小单位，再继续进行计算。除整数的位数外，从算理和算法的角度看，参与运算的计数单位个数及相互转化的次数是决定算理和算法层级的重要维度，对几个层级的具体说明如下。层级1：只有一个计数单位参与运算。学习完“数的认识”之后，不管是几位数，当只有一个计数单位参与运算时，在理解层面都应该隶属于第1个层级，这样随着整数位数（整十、整百）的增多，算理和算法都较易进行迁移。达成这一层级目标的认知基础是“数的意义”和“数的分解与组成”。层级2：多个计数单位参与运算，但不涉及相互轉化（即不进、退位）。这个层级包括两类情况：一类是两个加数的位数相同，另一类是两个加数的位数不同。从算理和算法的角度看，两个加数位数不同时更容易使学生产生认知上的障碍，如“哪个数跟哪个数相加、减”“竖式中哪个数位对齐”等问题，这些问题背后的算理就是位值思想。层级3：多个计数单位参与运算，涉及一次转化。在理解“相同数位上的数相加、减”的基础上，更为复杂的运算是计数单位之间的相互转化。“满十进一”“退一当十”背后的算理是“十进”思想，即相邻计数单位之间的进制是“十”，每一个数位上计数单位个数“满十”后要向高一级计数单位转化，当数位上计数单位的个数不够减时要转化为低一级计数单位，以使运算能够进行下去。理解“十进制”并在运算中熟练进行转化应用是保证运算结果正确的重要基础。层级4：多个计数单位参与运算，涉及多次转化。在这个层级上，并没有更多新的知识和技能，而是在前三个层级基础上，在更为复杂的情境中，对整数加减法的算理与算法进行进一步迁移和灵活应用。根据以上层级划分，具体到某个教学单元，不同版本教材的编排体系各不相同。如在“两位数加减一、两位数”单元，有的教材先编排两位数加减一位数，再编排两位数加减两位数，有的教材则先编排两位数加减两位数，再编排两位数加减一位数，以凸显学生在“数位”上的认知冲突。又如在“整十整百数相加减”单元，有的教材将整十数相加、整百数相加单独编排为一个课时，有的教材则将这一内容编排在“数的认识”单元或与两、三位数相加减内容进行整合，或在与一位数加一位数、整十数加整十数的对比中呈现整百数加整百数，强调算理与算法的一致性，体现计数单位的不同。每套教材的编排都有一定的内在逻辑和既定假设。不论教材怎样编排，笔者选择用“位数、参与运算的计数单位个数、计数单位转化的次数”这三个进阶变量来划定进阶层级，都能够帮助教师清晰地看到零散教学内容背后的本质与结构，在教学实践中更好地进行教学决策。三、基于进阶的整数加减法单元教学建议厘清整数加减法的意义和计算方法（含算理）两个维度的内容进阶，便于对教材编写的逻辑体系进行梳理，也便于教师能据此整体把握教学内容，实现单元结构化教学，找到学生认知的难点和生长点，系统化地设置单元、课时教学目标及教学任务序列。（一）在幼小衔接视角下整体规划整数加减法教学内容2022年版课标最主要的变化之一是加强了学段衔接，尤其注重幼小衔接，体现学习目标的连续性和进阶性。为此，教师需要关注一年级学生在幼儿园阶段学习了什么。《3～6岁儿童学习与发展指南》（以下简称《指南》）指出，5～6岁儿童在数学认知方面的学习目标之一是感知和理解数、量及数量关系。具体包括：1.借助实际情境和操作活动（如合并或拿取）理解加和减的实际意义；2.能通过实物操作或其他方法进行10以内的加减运算。［4］52按照《指南》的要求，大多数学生在小学入学前就已经接触了10以内数的认识及加减运算。《指南》还针对理解运算的意义提出了具体教学建议：通过实物操作引导幼儿理解数与数之间的关系，并用“加”或“减”的办法来解决问题。如游戏中遇到让4个小动物住进两间房子的问题，或生活中遇到将5块饼干分给两个小朋友的问题时，让幼儿尝试用不同的分法。鼓励幼儿尝试自己解决生活中的数学问题。如家里来了5位客人，桌子上只有3个杯子，还需要几个杯子。［4］54可以看出，幼儿通过幼儿园阶段的学习，已经具备丰富的运用加减法解决问题和初步分析数量关系的数学基本活动经验，不仅掌握了数的分与合，还接触了比较型（或相等型）的情境问题。现行不同版本教材在小学一年级上册均安排了20多个课时来教学“10以内数的认识和加减法”这一内容，涉及数的读写、组成、书写，加减法的意义、计算等多个方面。但是在一年级的教学中，教师要考虑与学生在幼儿园阶段所学习的内容形成的经验的衔接性，充分利用学生学前阶段的基础，提升其学习效率。如可以依据《指南》对幼儿园阶段的学习要求，减少“10以内数的认识”的部分课时，从幼儿园阶段侧重活动经验的积累过渡到小学阶段对写数、列式计算（符号表征运算意义）等方面的练习巩固，并为涉及“十进”“位值”等数学思想的“11～20各数的认识和加减法”单元教学适当增加课时，以体现学段之间的进阶性。（二）基于丰富的情境类型，有层次地引导学生多角度理解运算意义理解加减法的意义，主要依赖具体的现实情境。如果学生能够正确判断在何种情境下用加法解决问题，何种情况下用减法解决问题，即表明学生能够理解并区分加减法的意义。在现行不同版本教材中，加减法意义的现实情境非常丰富，从情境表征方式上看，有文字、图片（包括现实情境和数学情境）等不同形式。丰富的情境和表征方式一方面能够帮助学生从多个角度巩固和加深对运算意义的理解，另一方面也会让学生眼花缭乱，造成理解上的困难。因此，教材在编写时应分散认知难点；教师在教学时也应在厘清内容进阶的基础上，准确诊断学生的进阶点和生长点，在进阶层级较高的内容上多下功夫。2022年版课标在第一学段的学业要求中指出，在数与运算内容中，学生要能夠描述加减运算的意义，知道减法是加法的逆运算。对于运算的意义而言，理解“减法是加法的逆运算”较容易的情境是“部分—部分—整体”型和“比较”型。在“部分—部分—整体”型情境中，“左手有3支铅笔，右手有2支铅笔，求一共有几支铅笔”这样的题目用加法运算，相应地，“一共有5支铅笔，左手有2支铅笔，求右手有几支铅笔”则用减法运算。在“比较”型情境中，“小红有12个苹果，小明比小红多3个苹果，小明有几个苹果”用加法，相应地，“小明有15个苹果，小红比小明少3个苹果，小红有几个苹果”用减法。在动态的“合并”与“分开”类型中，加法的“合并”与减法的“分开”较容易理解，即“拿来”用加法，“拿走”用减法，但是加法的“分开”类型如“有一些小红花，拿走了7朵，现在还剩6朵，原来有几朵小红花”，以及减法的“合并”类型如“小红有3辆玩具车，她要再拿来几辆才能有9辆玩具车”，这两类问题用算术思维来理解题意有一定难度，而用代数思维，列方程解决问题更便捷。因此，教师一方面要通过直观操作、课件演示或语义表达、情境创编等多种方式引导学生理解加减法意义；另一方面要利用加法的“分开”类型和减法的“合并”类型，有意识地发展学生的代数思维，为后续学习奠定基础。（三）合理安排教学单元，围绕学生认知难点（升阶点）整合教学任务由于已经有了幼儿园阶段的学习经验，在借助现实情境（计算中提供的数据小）学习加减法的意义时，很多学生一眼就能看出计算结果。因此，在运算意义的学习中，教师可以根据表2中的进阶层级具体划分单元课时，层级1、层级2可以整合为一个课时，即在学