解决问题中线段图表征的断层剖析与改进路径

【摘

要】“解决问题”是小学数学学习内容的重要组成部分。“解决问题”中的线段图既具有直观性，又兼备概括性，是几何直观的体现形式之一。以人教版教材为例，通过梳理12册教材的教学内容，发现教材编排存在线段图表征断层的问题，导致线段图教学出现断裂。教师通过“从‘一到‘二，充实线段图表征”“从‘无到‘有，补充线段图表征”“从‘偏到‘全，丰富线段图表征”等方式改进学习路径，为探究解决问题的有效策略提供有力帮助。【关键词】线段图；解决问题；改进路径在现行小学数学教材中，“解决问题”是学习内容的重要组成部分。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）的要求，“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径”，学生应能“利用图表分析实际情境和数学问题，探索解决问题的思路”，发展几何直观。线段图既具有直观性，又兼备概括性，是几何直观的体现形式之一。它能够化“难”为“易”，帮助学生分析数量关系，由形象思维走向抽象思维。在“解决问题”中，用线段图代替实物示意图或半具体半抽象的示意图，对解决问题和发展学生思维有不可替代的作用。然而，各版本教材中线段图出现的次数并不多，且呈现的都是“成品”，对线段图的具体使用也未作出明确要求。教师对此深感迷惑：是要求学生画线段图，还是只要求学生读懂线段图？如何在教学中把握线段图的使用程度？为此，笔者以人教版教材为例，对教材的教学内容进行了剖析，发现教材编排存在线段图表征断层的问题，导致线段图教学出现断裂，教师“不善用”线段图，学生也“不待见”线段图。一、对解决问题中线段图表征断层的剖析笔者对人教版12册教材中用线段图表征解决问题的情况进行梳理，发现教材編排呈现比较清晰的结构（如图1）。（一）线段图表征的雏形线段图的雏形出现在一、二年级加减法的解决问题中。教材从一年级下册退位减法中的“摆摆看”到二年级上册加减法中的“画一画”，都采用具体示意图来表征；到二年级下册混合运算中的“用上面的图示分析”，开始用横条形来表征，线段图的“影子”清晰可见（如图2）。（二）线段图表征的起始线段图表征在三年级上册乘除法的解决问题中才正式出现。教材从例2“求一个数是另一个数的几倍”中的用示意图表征，过渡到例3“求一个数的几倍是多少”中的用线段图表征；从归一问题中的示意图分析，过渡到归总问题中的线段图分析（如图3）。通过多次过渡，正式引入线段图。（三）线段图表征的后续应用线段图表征的应用在六年级上册分数、百分数的解决问题中体现得最为明显。如图4所示，线段图表征主要集中在分数除法的解决问题中，以帮助学生分析从“正向”到“逆向”的解题思路；分数乘法、百分数除法中分别出现了借助线段图分析数量关系，百分数乘法中则没有出现。可见，线段图表征的后续应用虽然较多但配置不均衡。（四）线段图表征存在的断层通过对教材的梳理发现，用于分析数量关系的线段图，在四年级上册“常见数量关系”的解决问题中出现了断层。众所周知，“常见数量关系”在小学阶段起着承前启后的重要作用，其本质是乘法模型（与个数有关和与物理量有关两种形式）“几个几”，即每份数×份数=总数。线段图通过具体形象表征“几个几”，加深学生对其意义的理解。然而，从图5中可以清楚地看到，除用语言表征外，“常见数量关系”的解决问题中没有使用其他的表征方式。基于以上分析，教师需要进一步思考：人教版教材在线段图的雏形阶段编排的实物示意图和半具体半抽象示意图比较充足，这为线段图的引入打下了基础。那么，在线段图起始阶段，教师在教学生读懂线段图的同时，要不要教学生怎样画线段图？解决问题中线段图表征的断层应该如何弥补？在线段图表征的后续应用阶段，如何培养学生主动使用线段图的意识，让学生体会到线段图在解决稍复杂分数、百分数乘除法问题中的作用？为解决这些问题，笔者尝试在教学实践中，依托教材改进线段图表征的学习路径。二、解决问题中线段图表征的改进路径2022年版课标在“课程目标”中就有“学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景”的阐述。据此，教师可基于学生思维发展的需求创造性地使用教材，通过构造线段图、分析线段图，增强学生的几何直观意识；在不断应用线段图解决问题的过程中，发展学生的思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。限于篇幅，笔者选取三、四、六年级的案例来阐述用线段图表征的改进路径。（一）从“一”到“二”，充实线段图表征基于一、二年级学习的示意图，教师可在三年级上册学生初学线段图时，打破教材原有的“间隔性”编排线段图的方式，即从“求一个数是另一个数的几倍”中的用实物示意图表征过渡到“求一个数的几倍是多少”中的用线段图表征，从归一问题中的实物示意图过渡到归总问题中的线段图，尝试在归一问题的教学中同时使用示意图和线段图进行表征，并比较两者的异同，从“一”到“二”，充实线段图的表征。具体改进路径如图6所示。根据改进后的学习路径，在“求一个数的几倍是多少”的教学中，要让学生初步体会用线段图表征时需清楚“画什么”“怎么画”及线段图中的一份可以表示5、10、30……在归一问题的教学中，要将原来的单一示意图变为示意图、线段图两种表征方式同时呈现，让学生在示意图和线段图的对比中，进一步体会“画什么”“怎么画”及用线段图表征的优势，并在教材编排的基础上，借助画示意图和线段图的方法呈现实际问题中包含的数学信息，体现以数形结合分析数量关系。据此，笔者对归一问题中用线段图表征的学习路径进行具体设计与实施，如图7所示。在归一问题中充实线段图表征，并非忽略教材半具体半抽象示意图的表征，而是将两者进行有机融合，让学生在三次对比中理解线段图表征。按照教材的编排方式，原先只在归总问题中有线段图表征，改进编排方式后，变成在归一问题、归总问题中都要学习用线段图表征，双管齐下，从而将教材原有的“间隔性”编排方式变为“连续性”编排方式，呈现两次从“一”到“二”的迭代过程。（二）从“无”到“有”，补充线段图表征在三年级连续学习线段图表征的基础上，教师要在四年级“常见数量关系”这一乘法模型中补充线段图表征，为后续五年级理解用方程解决问题中的“等量关系”打下基础。具体改进路径如图8所示。在整体认识“常见数量关系”的视角下，要让学生体会线段图中的“一段”既可表示“单价”也可表示“速度”，“幾段”既可表示“数量”也可表示“时间”，总长度既可表示“总价”也可表示“路程”，意在引导学生将对这两种常见数量关系的理解主动纳入“每份数×份数=总数”的原有认知结构中，以跨越线段图在该内容中的断层。具体学习路径如图9所示。改进后的学习路径整合“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”两种常见的数量关系，将二者进行“平行式”教学。围绕算式60×4，让学生利用线段图对比剖析“每一段表示60，这样的4段”与“每一段表示4，这样的60段”，理解“每一段”可以表示“单价”“速度”，即“每份数”，“这样的几段”可以表示“数量”“时间”，即“份数”；通过绘制线段图，体悟常见数量关系的本质就是“每份数×份数=总数”，即求“几个几”。在这样从“无”到“有”的线段图表征过程中，更好地培养学生的抽象概括思维。（三）从“偏”到“全”，丰富线段图表征在六年级的分数乘法、百分数乘除法解决问题中用线段图表征（如图10），首先要丰富类型，从无线段图或只有一题用线段图表征变为多题用线段图表征，然后利用这些线段图分析数量关系，从而解决问题。其次要辨析结构，分数、百分数乘除法解决问题中的每个例题，都要通过线段图分析数量关系，厘清乘法与除法间的区别与联系，如辨析“求‘单位1的几分之几是多少”和“已知‘单位1的几分之几是多少，求‘单位1”。最后要以形建模，利用线段图构建分数、百分数乘除法解决问题的联系及运用策略，根据“量率”，建立对应的分数、百分数乘除法解决问题的数学模型。由此，帮助学生积累用线段图表征的经验，助推后续学习。教材偏向于将线段图表征用在分数除法的解决问题中，改进后的学习路径则将线段图表征全面涵盖每一类问题。在练习、复习教学中，教师在将分数、百分数乘除法解决问题用线段图表征后，组织学生观察异同，让学生在对比分析中把握这四类问题用线段图表征的“共通点”，深入理解这四类问题的结构特征