浙江省中考数学总复习第一章数与式第4讲分式及其运算讲解篇

第4讲分式及其运算1．分式的概念考试内容考试要求分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有，且B≠0)的式子叫做分式．a有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为02.分式的基本性质考试内容考试要求分式的基本性质eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(M是不为零的整式)．c约分把分式的分子和分母中的约去，叫做分式的约分．通分根据分式的，把异分母的分式化为分式，这一过程叫做分式的通分．3.分式的运算考试内容考试要求分式的乘除法eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc).c分式的乘方(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n为整数)．分式的加减法eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)，eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的．考试内容考试要求基本方法1.乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．c2.在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式分解因式再约分．3.分式求值：可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(2015·丽水)分式－eq\f(1,1－x)可变形为()A．－eq\f(1,x－1)B.eq\f(1,1＋x)C．－eq\f(1,1＋x)D.eq\f(1,x－1)2．(2016·台州)化简eq\f(x2－y2,（y－x）2)的结果是()A．－1B．1C.eq\f(x＋y,y－x)D.eq\f(x＋y,x－y)3．(2017·湖州)要使分式eq\f(1,x－2)有意义，x的取值应满足______________________________．4．(2017·舟山)若分式eq\f(2x－4,x＋1)的值为0，则x的值为____________________．5．(2015·湖州)计算：eq\f(a2,a－b)－eq\f(b2,a－b).【问题】(1)从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a＝6，b＝3时该分式的值．(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．类型一分式的概念eq\a\vs4\al(例1)分式eq\f(2x＋6,x2－9).(1)若分式有意义，则x的取值范围是________；(2)若分式的值为0，则x的值为________；(3)把分式化为最简分式________．【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．1．已知分式eq\f(x2－4,x－2)，若分式无意义，则x的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x＝____________________.2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是()A.eq\f(x2－1,x2＋1)B.eq\f(x＋1,x2－1)C.eq\f(x2－2xy＋y2,x2－xy)D.eq\f(x2－36,2x＋12)类型二分式的约分和通分eq\a\vs4\al(例2)计算：(1)(2016·淄博)eq\f(1－4a2,2a＋1)＝________；(2)eq\f(2x,x－1)＋eq\f(x＋1,1－x)＝________；(3)eq\f(2,x＋1)－eq\f(x－2,x2－1)＝________；(4)1－a－eq\f(1,a－1)＝________.【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．3．(1)(2016·丽水)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的运算结果正确的是()A.eq\f(1,a＋b)B.eq\f(2,a＋b)C.eq\f(a＋b,ab)D．a＋b(2)(2015·绍兴)化简eq\f(x2,x－1)＋eq\f(1,1－x)的结果是()A．x＋1B.eq\f(1,x＋1)C．x－1D.eq\f(x,x－1)(3)若a、b都是正实数，且eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(2,a＋b)，则eq\f(ab,a2－b2)＝____________________.(4)(2016·荆州)当a＝eq\r(2)＋1，b＝eq\r(2)－1时，代数式eq\f(a2－2ab＋b2,a2－b2)的值是.(5)(2015·台州)先化简，再求值：eq\f(1,a＋1)－eq\f(a,（a＋1）2)，其中a＝eq\r(2)－1.类型三分式的运算与求值eq\a\vs4\al(例3)(1)(2016·内江)化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a－3)＋\f(9,3－a)))÷eq\f(a＋3,a)＝________.(2)(2015·黄冈)化简：eq\f(b,a2－b2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,a＋b)))＝________.(3)(2015·衢州)先化简，再求值：(x2－9)÷eq\f(x－3,x)，其中x＝－1.(4)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－1)－x＋1))÷eq\f(4x2－4x＋1,1－x)，其中x满足x2＋x－2＝0.【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．4．(2015·成都)化简：(eq\f(a,a＋2)＋eq\f(1,a2－4))÷eq\f(a－1,a＋2).5．先化简，再求值：eq\f(x2－4x＋4,2x)÷eq\f(x2－2x,x2)＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．类型四与分式有关的变形和应用eq\a\vs4\al(例4)观察下列等式：第1个等式：a1＝eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))；第2个等式：a2＝eq\f(1,3×5)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))；第3个等式：a3＝eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))；第4个等式：a4＝eq\f(1,7×9)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,7)－eq\f(1,9))；…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．6．(1)如图，设k＝eq\f(甲图中阴影部分面积,乙图中阴影部分面积)(a＞b＞0)，则有()A．k＞2B．1＜k＜2C.eq\f(1,2)＜k＜1D．0＜k＜eq\f(1,2)(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．【探索规律题】(2015·巴中)a是不为1的数，我们把eq\f(1,1－a)称为a的差倒数，如：2的差倒数为eq\f(1,1－2)＝－1；－1的差倒数是eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)；已知a1＝－eq\f(1,2)，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，…依此类推，则a2015＝________．【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．【分式的分母不能为零，除数不能为零】分式eq\f(x2－4,x2－x－2)的值是0，则x的值为________．参考答案第4讲分式及其运算【考点概要】1．字母2.公因式基本性质同分母【考题体验】1．D2.D3.x≠24.25.a＋b.【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得eq\f(a2－2ab＋b2,3a－3b)＝eq\f(（a－b）2,3（a－b）)＝eq\f(a－b,3)，当a＝6，b＝3时，原式＝eq\f(6－3,3)＝1(有6种情况)．(2)分式概念、运算法则，注意点等．【例题精析】例1(1)x≠±3；(2)无解；(3)eq\f(2,x－3).例2(1)1－2a；(2)1；(3)eq\f(x,x2－1)；(4)eq\f(a2－2a＋2,1－a)例3(1)a；(2)eq\f(1,a－b)；(3)原式＝(x＋3)(x－3)·eq\f(x,x－3)＝x(x＋3)＝x2＋3x，当x＝－1时，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2；(4)原式＝eq\f(x2－（x－1）（x－1）,x－1)·eq\f(1－x,（2x－1）2)＝eq\f(2x－1,x－1)·eq\f(1－x,（2x－1）2)＝eq\f(1,1－2x).由x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1，∵x≠1，∴当x＝－2时，原式＝eq\f(1,1－2×（－2）)＝eq\f(1,5).例4(1)eq\f(1,9×11)，eq\f(1,2)×(eq\f(1,9)－eq\f(1,11))；(2)eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n－1))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋1)))，eq\f(1,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))．(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,2)×(eq\f(1,199)－eq\f(1,201))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,199)－\f(1,201)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,201)))＝eq\f(1,2)×eq\f(200,201)＝eq\f(100,201).【变式拓展】x＝2－2A(1)C(2)A(3)－eq\f(1,2)(4)eq\f(\r(2),2)(5)eq\f(1,（a＋1）2)，eq\f(1,2).eq\f(a－1,a－2).eq\f(x,2).当x＝1时，原式＝e