流体力学6教材

流体力学江汉大学文理学院(6)1第六章量纲分析与相似原理对于流体力学,连续性方程、伯努利方程、动量定理等由理论方法得出的客观规律使我们能准确地求解一些较简单的工程流体力学的问题.但是,由于流体运动的复杂性,当今大多数实际的工程流体力学问题往往需要依靠实验或理论与实验相结合的方法来解决.如前面提到的各种条件下的水头损失问题,

因子的确定,的确定,目前就是主要依靠实验的方法进行研究.而量纲分析和相似原理,就为有效地设计实验,处理实验数据提供正确的指导思想.对于一个复杂的流动现象进行实验研究,实验中可变的因素有很多,另外,受实验条件的限制,多数不可能在实物上进行,需要模拟.而量纲分析和相似原理为这些问题的解决提供了理论依据.例如,可以根据量纲分析对某一流动现象中的若干变量进行组合,选择能方便操作和测量的变量进行实验,这样可以大幅度地减少实验的工作量,并且可使实验的数据整理和分析变得比较容易.量纲分析和相似原理不仅在流体力学中有许多应用,而且也广泛地应用于其它工程领域的研究.所以,懂得和掌握量纲分析和相似原理,对于一个工程技术人员是十分必要的.2§6–1量纲及量纲和谐原理一.量纲什么叫量纲?简单的讲就是,表示物理量本质属性的度量标准,就是量纲.量纲分为基本量纲和导出量纲.基本量纲是互相独立的量纲,而导出量纲是由基本量纲组合的其它物理量的量纲.在力学范围内,基本量纲有三个:长度、时间和质量.即L、T、M.而导出的量纲有:速度:加速度:力:功:动力粘度:运动粘度:的量纲:的量纲:3上面可以看出:在力学范围内,任何一物理量的量纲[q](导出量纲),都可由3个基本量纲的幂的乘积来表示.当

0,=0,=0,q为几何量;当0,0,=0,q为运动学量;当0,0,0,q为动力学量.二.无量纲的量(纯数)当

=0,=0,=0,上式中[q]=[1],我们说q为无量纲的量.相对伸长(正应变)=

l/l,是无量纲的量,雷诺数Re

也是无量纲的量.达西因子、相对粗糙度K/d也是无量纲的量.无量纲的量在实验和分析中占有重要地位.4三.量纲和谐原理量纲和谐原理是量纲分析的基础.凡正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲一定是一致的.如,总流的伯努利方程:其各项的量纲是长度.(水头)气体用的伯努利方程:其各项的量纲是应力.如果由实验观测得出的公式不满足量纲和谐原理,则此公式肯定不能反映正确的客观规律,是需要修正或重新建立的.5由量纲和谐原理可以得出下面两个重要观点:1.凡能正确反映客观规律的物理方程,一定可表示成无量纲的方程,因为方程中各项的量纲相同,只须用其中某一项去除其余各项,便可得一无量纲的方程.但此方程仍旧保持了原方程的物理性质.2.量纲和谐原理表达了一个物理过程中相关物理量的确定关系,如力与质量和加速度的关系,应力与应变和弹性模量之间的关系,水头(长度)与应力和质量密度及加速度之间的关系等.量纲分析法便由此而来.6§6–2量纲分析法在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种:一种称之为瑞利(Rayleigh)法,此法适用于较简单的问题.另一种称之为定理或白金汉(Buckingham)定理,是一种具有普遍性的方法.一.瑞利法瑞利法的基本原理是,设描述某一物理现象同n个物理量有关若其物理方程表达为则其中的一个物理量可以表达成其它物理量的幂的乘积形式根据量纲和谐原理,确定指数ab…p,就可得到该物理过程的方程式.例1.求单摆的振动周期表达式7设,小球振动周期由量纲和谐原理比较两边可得:M:L:a+c=0T:于是可得:k值由实验确定,k=2

8例2.(书上p137例6–1)求水泵输出功率的表达式根据输水管路计算所用的方程,(波努利方程和流量方程)可设水泵功率表达式为:由量纲和谐原理比较两边可得:M:L:T:9比较两边可得:M:L:T:于是可得:K值由实验确定10例3.(书上例6–2)试求圆管流量关系式由已有的资料可知,流量与管端的压力差成正比,与管长成反比,同时,可知流量还与截面面积,(变数为半径r)粘性系数有关.设流量与上述诸量的关系式为:由量纲和谐原理比较两边可得:M:L:T:求解可得:所以有K由实验获得.11例4.一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD,经实验发现与球体的直径、球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(瑞利法)推导阻力FD

的公式.设阻力与各有关物理量的关系式为:由量纲和谐原理比较两边可得:M:L:T:3个方程4个未知数,设e为待定,则有:12上式中无量纲的量由可得:瑞利法是直接运用量纲一致的原则来描述某一物理过程.在整个方程式中,物理量的个数不能超过4个.因为在力学范围里基本量纲只有3个,则待定的指数只能有3个,当方程式中的物理量超过4个时,或是归并有关物理量,或是某项待定系数并寻求无量纲量的组合.但在大多数情况下归并或寻求无量纲组合都是困难的.下面介绍的定理,则是量纲分析中应用的普遍的一种方法.13二.定理(Buckingham定理)设某物理过程存在n个物理量的变量关系其中,有m个是互相独立的基本量则该物理过程可由n–m个无量纲的量构成的函数式来表达.即为:式中用

1

、2…n–m

表达无量纲的量,故称定理.定理的应用步骤如下:1.找出对某物理过程有影响的物理量142.从上面n个物理量中选取m个量纲互相独立的基本量,对于不可压缩的流体运动,一般选m=3个.设q1

、q2

、q3

为所选的基本物理量,由量纲公式满足所选的3个基本物理量独立的条件是,量纲式中的指数行列式不为零即对于不可压缩的流体运动,通常选取的基本物理量是:153.基本物理量依次与其余物理量组成n–3个项.……4.满足为无量纲的量,按量纲和谐条件决定各项的指数a、b、c.5.整理方程式.16例5.一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD,经实验发现与球体的直径、球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(

定理)推导阻力FD

的公式.解:将函数关系设为:选取基本物理量d,v,

则各是纯数,无量纲,或是说量纲为1.

1:M:L:T:比较两边:求得:原物理量关系式可表示为17

1:

2:比较两边:M:L:T:求得:原物理过程可表为:或于是有18

®关系式的表达举例例6.(书上例6–3)求有压管流的压强损失的表达式(达西方程)从原有的资料及经验可知,有压管流的压力损失

p与流体的密度,运动黏性系数,管长l,管径d,管壁粗糙度K及流速等有关.于是,在流动时函数关系式有选基本物理量v,d,

则数为7–3=419

在流动时压强与其它物理量的有关系式可记为:选基本物理量v,d,

则数为7–3=4对

1:M:L:T:比较两边:求得:20比较两边:M:L:T:求得:对

2:对

3、4:显然应有:21选基本物理量v,d,

管流压强损失表达式管流压强损失表达式可表成自然可写成:22由实验可知:管流两端压差与管长成正比于是上式可写成如下的形式:令则有:23三.量纲分析方法的讨论1.量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理,量纲一致是判断某物理方