2024年辽宁省铁岭市开原市中考数学二模试卷VIP

第1页（共1页）2024年辽宁省铁岭市开原市中考数学二模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，计30分）1．（3分）下列四个数中，绝对值最大的数是（）A．2 B． C．﹣4 D．02．（3分）如图所示的三视图对应的几何体是（）A． B． C． D．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a﹣3）2＝a6 D．2a2•a﹣1＝2a5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝20°（）A．20° B．40° C．70° D．140°6．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝07．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为8．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x29．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0）（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（）A． B．9 C．15 D．3010．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图2，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是（）A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）2024年春节期间，文化和旅游部组织开展“欢欢喜喜过大年”春节主题活动，统筹做好安全生产和假日市场工作，全国举办“村晚”、戏曲进乡村、新年画活动、图书馆里过大年等群众文化活动约15万场，线上线下约6.69亿人次参与．将6.69亿用科学记数法表示．12．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，则小灯泡发光的概率等于．13．（3分）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面圆的半径长为3m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，那么购买油毡所需要的费用是元（结果保留整数）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点的图象上，顶点A在反比例函数，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是AC的中点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A′DE的位置，A′D交AB于点F，则AE的长为．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）|﹣2|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣2sin60°+﹣（﹣1）2024．（2）先化简，再求值：的值值为0．17．（8分）一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．方式一：每次购买30元入场券．方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券18元．（1）当小宁去游泳8次时，选哪种方式更划算？请说明理由；（2）当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由．18．（9分）2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：87，84，88，93，87，98，86，79，85，85，98．乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：77，88，92，76，90，91，88，85，88，86，89（1）按如表分数段整理两班测试成绩班级70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝；（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝，y＝．（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班；（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛19．（8分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，坐垫E与点B的距离BE为10cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）20．（8分）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，且∠BCD＝∠A，以点O为圆心的圆经过C，D两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为3，求AC的长．22．（12分）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现（﹣1，3.36），第一次弹起的运行路线最高点坐标为（﹣0.5，3.61），第二次弹起的最大高度为1.21m．小强通过这些数据，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．【解决问题】：（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；（2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；（3）小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？23．（12分）【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，求证：CN＝2AN．经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K；乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系．（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；（2）【类比分析】老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，BN交AD于M，BK交AD于P请你写出解答过程；（3）【学以致用】在△DEC中，ED＝EC．在直线CD上取点B，使BC＝2CD，在线段BE上取点A，连接AC，当AB＝AC时，求AF：FC的值．请你写出解答过程．

2024年辽宁省铁岭市开原市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，计30分）1．（3分）下列四个数中，绝对值最大的数是（）A．2 B． C．﹣4 D．0【解答】解：∵‖﹣4‖＞‖2‖＞‖﹣‖＞‖0‖，∴绝对值最大的数是﹣8．故选：C．2．（3分）如图所示的三视图对应的几何体是（）A． B． C． D．【解答】解：图中三视图对应的几何体是圆锥，故选：A．3．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；C．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a﹣3）2＝a6 D．2a2•a﹣1＝2a【解答】解：A．（3x+2）（7x﹣2）＝9x8﹣4，故不正确；B．（a+1）4＝a2+2a+4，故不正确；C．（a﹣3）2＝a﹣2，故不正确；D．2a2⋅a﹣5＝2a，正确．故选：D．5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝20°（）A．20° B．40° C．70° D．140°【解答】解：∵AO＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∵∠BAO＝20°，∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝70°．故选：C．6．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣8×1＝0，方程有两个相等的实数根；B、Δ＝（﹣5）2﹣4×（﹣7）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根；C、Δ＝22﹣4×8＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝72﹣4×6×（﹣1）＝5＞8，方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为【解答】解：A：由图象得y1随x的增大而增大，故A正确的；B：由图象得：n＞b，故B是正确的；C：由图象得：当x＜2时，y5＜y2，故C是错误的；D：由图象得：的解为：，故D是正确的；故选：C．8．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x﹣8）2．故选：D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0）（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（）A． B．9 C．15 D．30【解答】解：连接AC、EF．∵四边形OABC为矩形，∴B（9，3）．又∵OE＝BF＝8，∴E（4，0），4）．∴AC＝＝＝3，EF＝＝，∴AC•EF＝3×＝30．故选：D．10．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图2，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．下列不属于该尺规作图依据的是（）A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【解答】解：由作图得：PQ垂直平分AB，∴O为AB的中点，∴AO＝BO，∵∠C＝90°．∴CO＝AO＝BO，∴⊙O是△ABC的外接圆，故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）2024年春节期间，文化和旅游部组织开展“欢欢喜喜过大年”春节主题活动，统筹做好安全生产和假日市场工作，全国举办“村晚”、戏曲进乡村、新年画活动、图书馆里过大年等群众文化活动约15万场，线上线下约6.69亿人次参与．将6.69亿用科学记数法表示6.69×108．【解答】解：6.69亿＝669000000＝6.69×103．故答案为：6.69×108．12．（3分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，则小灯泡发光的概率等于．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，∴小灯泡发光的概率＝＝，故答案为：．13．（3分）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面圆的半径长为3m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，那么购买油毡所需要的费用是566元（结果保留整数）．【解答】解：购买油毡所需要的费用＝2π×3×8÷2×10≈566元．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点的图象上，顶点A在反比例函数，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是﹣2．【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣，解得k＝﹣2，故答案为：﹣2．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是AC的中点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A′DE的位置，A′D交AB于点F，则AE的长为1或．【解答】解：如图，当∠BFA′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝6，∵AD＝CD，∴AD＝CD＝，∵∠AFD＝90°，∴∠ADF＝60°，∴∠EDA＝∠EDF＝30°，∴∠A＝∠EDA＝30°，∴EA＝ED，∠DEA＝120°，AE＝＝＝7．如图，当∠BA′F＝90°时．设AE＝x．∵BD＝BD，CD＝DA′，∴Rt△BDC≌Rt△BDA′（HL），∴BC＝BA′＝2，∵∠DA′E＝30°，∴∠EA′H＝60°，在Rt△EHA′中，A′H＝x，EH＝x，BE＝7﹣x，在Rt△BEH中，∵EH2+BH2＝BE2，∴（x）3+（2+x）2＝（4﹣x）5，解得x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：7或．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）|﹣2|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣2sin60°+﹣（﹣1）2024．（2）先化简，再求值：的值值为0．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+4﹣2×+2＝7﹣1+4﹣+2＝6+； （2）（﹣x﹣2）＝÷＝•＝•＝，∵x使分式值为0，∴x5﹣4＝0且x﹣5≠0，解得x＝﹣2，当x＝﹣8时，原式＝．17．（8分）一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．方式一：每次购买30元入场券．方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券18元．（1）当小宁去游泳8次时，选哪种方式更划算？请说明理由；（2）当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由．【解答】解：（1）去游泳8次时，选择方式一更划算，方式一需付款8×30＝240（元），方式二需付款150+7×18＝294（元），240＜294，所以选择方式一更划算；（2）设去游泳x次时，方式二比方式一划算，根据题意，得：150+18x＜30x，解得x＞12.5，∵x为整数，∴x至少为13，答：当小宁去游泳至少13次时，方式二比方式一划算．18．（9分）2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：87，84，88，93，87，98，86，79，85，85，98．乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：77，88，92，76，90，91，88，85，88，86，89（1）按如表分数段整理两班测试成绩班级70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝4；（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝87，y＝88．（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班；（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛【解答】解：（1）由题意得：a＝4，故答案为：4；（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：（3）甲班15名学员测试成绩中，87分出现的次数最多，∴x＝87，由题意得：乙班15名学员测试成绩的中位数为88，故答案为：87，88；（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：①甲、乙两个班的平均数相等；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；故答案为：乙；（5）把甲班3人记为A、B，乙班1人记为C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，恰好抽取甲，∴恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为＝．19．（8分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，坐垫E与点B的距离BE为10cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【解答】解：过点E作EG⊥CD于点G，∴∠EGC＝90°．∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm，∴CE＝70（cm）．∵∠ABC＝64°，AB∥CD，∴∠ECD＝64°．∴EG＝EC•sin64°≈70×0.90＝63（cm）．∵CD∥l，CF⊥l，车轮半径为32cm，∴CF＝32（cm）．∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）．答：坐垫E到地面的距离为95cm；（2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′，∴∠E′G′C＝90°．∵小明的腿长约为84cm，∴E′G′＝84×0.7＝67.2（cm）．∵∠ECD＝64°，∴CE′＝＝≈74.67（cm）．∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）．答：EE′长4.6cm．20．（8分）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：m2）每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？【解答】解：（1）根据题意得：＝，解得：x＝600，经检验，x＝600是所列方程的解．答：x的值为600；（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，解得：m≥6，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），即w＝1400m+48400，∵1400＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝7时，w取得最小值．答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，且∠BCD＝∠A，以点O为圆心的圆经过C，D两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为3，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，∴∠BCD＝∠BOD，∵∠BCD＝∠A，∴∠BOD＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠BOD+∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（2）∵sinB＝，OD＝3，∴OB＝4，∴BC＝OB+OC＝8，在Rt△ACB中，sinB＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝4x＝2，∴x＝2，∴AC＝3x＝2．22．（12分）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现（﹣1，3.36），第一次弹起的运行路线最高点坐标为（﹣0.5，3.61），第二次弹起的最大高度为1.21m．小强通过这些数据，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．【解决问题】：（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；（2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；（3）小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？【解答】解：（1）根据题意知，乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为（﹣0.5，过点A（﹣5，设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为，代入A（﹣5，3.36）得：3.36＝a（﹣2+0.5）6+3.61，解得a＝﹣1，∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为；（2）令y1＝0，则﹣（x+2.5）2+2.61＝0，解得x1＝2.4x2＝﹣7.4（舍），∴OB＝1.7m，∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4m；（3）∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为4.21m，∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为，把B（1.4，3）代入解析式得：0＝﹣（1.8﹣h）2+1.21，解得h7＝2.5h6＝0.3（舍），∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为；当y2＝8时，则﹣（x﹣2.5）5+1.21＝0，解得x7＝3.6，x2＝1.4（舍）；当y7＝0.4时，则﹣（x﹣3.5）2+5.21＝0.4，解得x2＝3.4，x6＝1.6（舍）．∴当6.4≤x≤3.4m时，小强确保获胜．23．（12分）【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，求证：CN＝2AN．经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K；乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平