8-2012数本四-数学分析-第三章-函数极限习题课

第三章“函数极限”习题课一、用定义证明函数的极限刻画函数极限情况刻画自变量变化范围写出以下极限的分析定义：解xy0f(x)A当该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.1.函数的极限

A的

邻域,

x0的空心

邻域,A+

A–

Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,当

x0的空心

邻域,Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,当

x0的空心

邻域,Axy01.函数的极限.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当Axy0几何上：函数有极限等价于这种

邻域与空心

邻域之间存在着无限的对应.1.函数的极限因此，函数的极限定义也称函数极限的

—

定义.f(x)该邻域内所有点x的纵坐标f(x)落在A的

邻域内，即相应的点(x,f(x))落在绿色区域内.

A的

邻域,

x0的空心

邻域,当xy0f(x)A该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.2.

函数的左极限

A的

邻域，

x0的左半

邻域，A+

A–

Axy0f(x)2.

函数的左极限.该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.

A的

邻域，

x0的左半

邻域，Axy0f(x)2.

函数的左极限.该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.

A的

邻域，

x0的左半

邻域，Axy0f(x)2.

函数的左极限.该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.

A的

邻域，

x0的左半

邻域，Axy0f(x)函数有左极限等价于这种

邻域与左半

邻域存在着无限的对应.2.

函数的左极限.几何上：该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.

A的

邻域，

x0的左半

邻域，xy0f(x)AM-M其相应的曲线上的点落在绿色区域内.3.x趋于无穷大时的极限

A的

邻域,

M>0,A+

A–

对满足|x|>M的一切点x,xy0f(x)M–MA其相应的曲线上的点

A的

邻域,M>0,.3.x趋于无穷大时的极限对满足|x|>M

的一切点x,落在绿色区域内.xy0f(x)M–MA其相应的曲线上的点

A的

邻域,M>0,.3.x趋于无穷大时的极限对满足|x|>M

的一切点x,落在绿色区域内.xy0f(x)AM–M其相应的曲线上的点

A的

邻域,

M>0,.3.x趋于无穷大时的极限对满足|x|>M的一切点x,落在绿色区域内.xy0f(x)AN–NM–NM–NM–NM–MMMMM

此类极限定义也称函数极限的

—M定义其相应的曲线上的点

A的

邻域,

M>0,.3.x趋于无穷大时的极限对满足|x|>M的一切点x,落在绿色区域内.xy0f(x)AM其相应的曲线上的点落在绿色区域内.4.

x趋于正无穷大时的极限对满足x>M的一切点x,(f(x)A的情况)xy0f(x)AM.4.

x趋于正无穷大时的极限对满足x>M的一切点x,(f(x)A的情况)其相应的曲线上的点落在绿色区域内.xy0f(x)AM.(一般情况)4.

x趋于正无穷大时的极限对满足x>M的一切点x,其相应的曲线上的点落在绿色区域内.f(x)xy0G–G该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.5.无穷大

G>0，

>0，当0<|x–x0|<

，恒有|f(x)|>G.

G邻域，

x0的空心

邻域，x0f(x)G–G5.无穷大.y该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.

G>0，

>0，当0<|x–x0|<

，恒有|f(x)|>G.

G邻域，

x0的空心

邻域，x0G–Gf(x)G–GM–MG–MG–MG–M5.无穷大.y该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.

G>0，

>0，当0<|x–x0|<

，恒有|f(x)|>G.

G邻域，

x0的空心

邻域，xy0f(x)G–G5.无穷大.该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.

G>0，

>0，当0<|x–x0|<

，恒有|f(x)|>G.

G邻域，

x0的空心

邻域，xy0f(x)G–G5.无穷大.该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.

G>0，

>0，当0<|x–x0|<

，恒有|f(x)|>G.

G邻域，

x0的空心

邻域，例1要证：问题(1)?(2)

限制?〔P49习题1(3)〕例2要证：：〔P50习题7〕二、求函数极限的一般方法〔如：P53习题1(1),(2)〕注：要求极限存在〔≠∞〕，分母≠0〔如：P53习题1(3)—(7)〕例3〔P69习题1(6)〕例4〔P69习题1(7)〕例5〔P69习题1(4)〕〔如：P53习题1(8)〕例6例7〔P50习题6(3)〕例9例8〔P69习题1(2)〕函数在

无定义、有极限函数在

的函数值与极限值不等函数在

的函数值与极限值相等函数在

有定义、无极限函数在一点的极限〔含单侧极限〕与函数在这点的定义无关。无穷小量有界量两个无穷小量比较：O(1)·o(1)=o(1).o(1)·o(1)=o(1).o(1)+o(1)=o(1).注：无穷大量乘有界量不一定是无穷大量.无穷小量运算：无穷小量乘有界量仍是无穷小量.解：由无穷小量乘有界量仍是无穷小量，例10注：1,0,〔o(1