8-1多元函数的极限与连续

推广一元函数微分学多元函数微分学注意:

善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第八章第一节一、平面点集n维空间二、n元函数三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的极限与连续

第八章

一、平面点集n维空间1.平面点集点集称为点P0的邻域.坐标平面上具有某种性质P的点的集合，说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为在平面上,称为平面点集，记作(1)邻域设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若点

P

的任一邻域U(P)中既有属于

E的点，也有则称P为E

的内点,例如；则称P为E

的外点，例如

;则称P为E

的边界点，例如

.不属于E的点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)内点、外点、边界点12(3)聚点若对任意给定的正数

,点P

的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E.聚点可以为E

的内点或E的边界点注1º内点一定是聚点；2º边界点可能是聚点,也可能不是聚点；但的点属于E,的点不属于E.则点集中的点都是E的内点；点集中的点都是E的聚点，E例如:设点集xyoD(4)开区域及闭区域

若点集

E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集

E

E,则称E

为闭集；

若点集E中任意两点

开区域连同它的边界一起称为闭区域.E的折线相连,

连通的开集称为开区域

,简称区域;

E

的边界点的全体称为

E

的边界,记作

E;如，是闭集、连通集、闭区域.都可用一完全属于则称E

是连通集

;是开集、连通集、是区域；例如，在平面上开区域闭区域

整个平面

点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对点集E,若存在正数

K,使对一切点P

E,P与原点O的距离

OP

K,则称

E

为有界点集；

否则，称为无界点集

.2.n维空间n元有序数组的全体所构成的中的每一个元素称为该点或该n维集合,记作即一个点或一个n维向量,当所有坐标称该点为中的坐标原点,记作0.

或n维零向量,向量的第k

个坐标.称为中的以及实数λ，规定称引入了上述线性运算的集合的距离记作规定为与零元0的距离为并称为向量x的模.显然,二、n元函数中点

a

的

邻域为1.n元函数引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式定义8.1

设非空点集映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数二元函数的定义域一般地,

二元函数的图形为空间曲面

.z=f(x,y),(x,y)

D是平面点集.例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.又如,三元函数的定义域是三维空间的点集.的定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球如,三元函数质量为m0

对位于Ω内质量为m的质点M的引力为引例的质点设非空点集映射称为定义在

D

上的一个n

元向量值函数,记作当m=1

时,就是定义8.1中的n

元函数,当n=1时,就是第七章讲的一元向量值函数.定义8.2向量值函数的几何或物理意义举例平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹.空间曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹.平面向量场或平面到平面的坐标变换.曲面的方程或一族空间曲线(当固定x或y).三、多元函数的极限1.定义8.3

设二

元函数则称A

为函数P0(x0,y0)

是D的聚点,若存在常数A,对于一切记作总有使得

>0,

>0,注

3º

关于二元函数的极限概念，可相应地推广到n元函数u=f(P),P

D

Rn上去;

1º

在二元函数极限定义中，P

P0

是指在

平面上位于D内以任意方式趋于P0

；P0yxO2º

二元函数的极限又称为二重极限;Oxx0对比：一元函数极限4º

二元函数的极限运算法则与一元函数类似．2.求二重极限的常用方法(1)利用定义求证:证例1当时，原结论成立．?例2用变量代换

化二重极限为一元函数的极限.解xyO求极限解其中例3(3)利用夹逼准则，重要极限利用极坐标变换，将二重极限化成时的极限解例4P0趋向于),(000yxP，若与k有关，则可断言:二重极限3.确定极限不存在的方法：

令),(yxP沿直线(1)xyO找两条特殊路径L1，L2，若(2)P0yxOL1L2例5证明下列极限不存在：(1)证(1)xyOy=xxyoy=x(2)分析

xyO证其值随k的不同而变化，分析xyO证取其值随k的不同而变化，故该极限不存在．例6分析xyOy=-x证取问：下列推导是否正确？

答：不正确.错误原因：事实上，此值与θ有关，原极限不存在.四、多元函数的连续性定义8.4定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,如果则称的间断点

.则称函数连续.连续.记作定义8.5定义在D

上,如果为函数函数不连续.设二

元函数则称此函数在

D

上设函数例如,函数在(0,0)点极限不存在(例5(2)),

又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:

一切多元初等函数在其定义区域内连续.例7

证明在全平面连续.证为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得性质1

(有界性与最大最小值定理)且能取得它在

D

上的最大值M及最小值m;闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:在有界闭区域D

上连续的多元函数必定在D上有界,性质2

(介值定理)在有界闭区域D

上连续的多元函数必取得介于它在D

上的最大值和最小值之间的一切值.求函数的连续域.解例8初等函数的连续域就是其定义域.例9解内容小结1.平面点集

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限(1)定义.(2)求二重极限的常用方法1)利用定义

2)用变量代换化二重极限为一元函数的极限.3)利用夹逼准则，重要极限4)利用极坐标变换，将二重极限化成时的极限(3)确定极限不存在的两种常用方法.4.多元函数的连续性1)函数2)闭区域上的多元连续函数的性质:有界性定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在其定义区域内连续思考题解的函数f(x,y)，n次齐次函数

)称为(1)定义域(2)定义域解解定义域4.设求解(方法1)

令设求(方法1)令即备用题解例2-1例2