10.1-二重积分的概念（修改稿）

《高等数学》课件(第十章第一节)多重积分

第十章（Multipleintegral）《高等数学》课件(第十章第一节)在本章中,我们将一元函数的定积分推广到多元函数的重积分.

内容包括：

10.1二重积分的概念

10.2二重积分的计算

10.3三重积分《高等数学》课件(第十章第一节)10.1二重积分的概念（theconceptionofdoubleintegral）

曲顶柱体

:以平面上的有界闭区域D为底,连续函数z

f

(x,y)((x,y)

D,f(x,

y)0)形成的曲面S为顶,区域D的边界曲线C作准线,母线平行于z轴的柱面为侧面形成的立体.

10.1.1二重积分的定义

1曲顶柱体的体积z

f(x,y)DzyOCx《高等数学》课件(第十章第一节)求曲顶柱体的体积V

.用曲线网将区域D划分为n个小区域:

1,

2,,

n,

i

也同时表示相应区域的面积.记

max{

i

的直径:i

1,2,,n}.

yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等数学》课件(第十章第一节)在每一个小区域

i

中任取一点Pi

(

i,

i),以fi

(

i,

i)

作为

i上的小曲顶柱体高度的近似值.则

i

上的小曲顶柱体体积的近似值为于是,曲顶柱体体积的精确值为以各小区域的边界为准线,作母线平行z轴的柱面把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.

从而整个曲顶柱体体积V的近似值为yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等数学》课件(第十章第一节)

2二重积分的定义

定义10-1

设二元函数z

f(x,y)为定义在有界闭区域D上的有界函数,用一组曲线网将区域D任意划分为n个小区域:

1,

2,,

n,记

max{

i

的直径:i

1,2,,n}.

任取

(

i,

i)

i,作和

《高等数学》课件(第十章第一节)其中f(x,y)为被积函数,f(x,y)d

为积分表达式,d

为面积元素(或面积微元),x,y是积分变量,D是积分区域.

令

0,若In

的极限存在,且极限值与对区域D的划分法以及点(

i,

i)的选取无关,则称f(x,y)在区域D上(Riemman)可积,并称极限值I为f(x,y)在区域D上的二重积分,记为即《高等数学》课件(第十章第一节)几何上,二重积分表示曲顶柱体的体积的代数和.

当f(x,y)1时,表示区域D

的面积.在直角坐标系下,用平行于坐标轴的直线网划分D,则面积微元d

dx

dy,

其中dx

dy

为直角坐标系下的面积元素.

所以《高等数学》课件(第十章第一节)

3平面薄片的质量取(x,y)D,并取(x,y)处的面积微元d

,则质量微元dM

(x,y)d

,于是平面薄片的质量为

设平面薄片占有xOy

平面上的有界闭区域D,在点(x,y)

D处的面密度为

(x,y),

(x,y)>0,且在D上连续,求此平面薄片的质量.《高等数学》课件(第十章第一节)

4二重积分的存在定理

定理10-1

若二元函数f(x,y)在平面有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上可积.

10.1.2二重积分的性质由于二重积分与一重积分一样都是黎曼（Riemman）积分，因此它们有类似的性质.这些性质容易根据重积分的定义来证明.《高等数学》课件(第十章第一节)

2.(区域可加性)若f(x,y)在有界闭区域D1

和D2

上均可积,其中D1

和D2除边界外没有公共部分,则f(x,y)在D

1

D

2上也可积,且有

1.(线性性)若f1(x,y),f2(x,y)在有界闭区域D上可积,则对任何常数k1,k2,有《高等数学》课件(第十章第一节)

3.(单调性)若f(x,y)和g(x,y)在有界闭区域D上均可积,且在D上恒有f(x,y)

g(x,y),则

推论1

若在区域D上f(x,y)0,则

推论2因为故《高等数学》课件(第十章第一节)

4.(积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续,则存在点(

,

)D,使得

推论3

若在区域D上,m

f(x,y)M,则其中A(D)是D的面积.

f(x,y)在区域D上的平均值定义为则在在上取得最大值和最小值，使得因函数

在

上连续，证故由连续函数的介值定理知，存在使得从而《高等数学》课件(第十章第一节)

例1

估计二重积分

解在D

上ln2

ln(1x2

y2)ln3,的值,其中D

{(x,y)|1x2