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文档简介

第一类曲面积分第四节

第十章

一、第一类曲面积分的概念与性质二、第一类曲面积分的计算法三、五类积分的统一表述及其共性一、第一类曲面积分的概念与性质1.问题引入非均匀曲面形构件的质量采用

“分割,近似，求和,表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).

取极限”的方法，可得设函数f(x,y,z)

在分片光滑2.定义10.3的曲面

上有界.并作黎曼和如果当各小块曲面直径的最大值的极限总存在,即极限值和曲面的分法及点记第i小块任取一点将

任意分成

n

小块

在曲面

上的第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记作被积函数积分曲面积分和式面积元素被积表达式则称该极限值为函数f(x,y,z)

注1º

当函数f(x,y,z)在曲面

上连续时,2º

曲面形构件的质量可以表示为存在.曲面积分3º

曲面形构件的质心坐标可以表示为4º

当被积函数为常数1时,曲面积分5º

当积分曲面为封闭曲面时,曲面积分可表示为3.性质(3)对称性：基本思路:计算二重积分转化定理10.6是定义在光滑曲面求曲面积分二、第一类曲面积分的计算法

上的连续函数.则有下面的计算公式证如图所示注则则其中是球面被平面截出的顶部.解例1

计算曲面积分例2依对称性知：解

例3其中

是介于平面之间的圆柱面解(方法1)R

1

2yzORHDyzyzORHDyz注如果积分曲面

的参数方程为：(方法2)其参数方程为：例4解关于zOx

面对称关于y奇函数

3

2

1xyz

O的面积

3

2

1xyzO2a2axyODxy

3

2

1xyzO2a由对称性，得(方法1)2axzO消去yDxz

3

2

1xyzO2a2axzODxz(方法2)

3

2

1xyzO2a由第一类曲线积分的几何意义，知L:三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:二重积分:三重积分:第一类曲线积分:当被积函数非负时直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义（1）对数量值函数的积分；（2）数量值函数均定义在有界的几何形体上；（3）定义积分步骤相同：分割、近似、求和、取极限；（4）均为黎曼和的极限.因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.这五类积分的共性：定义10.4平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，在I

上有定义并且有界的数量值函数。将I任意划分为n个“子块”：几何形体的直径可统一定义为该几何形体中两点之间距离的最大值).作乘积并作黎曼和即极限值与I则称此极限为函数积分区域被积表达式被积函数当被积函数为密度函数时,五种积分表示几何形体I的质量.I是闭区间[a,b]→I是平面闭区域D→I是空间闭区域Ω→I是曲线Γ→I是曲线Σ→被积函数为常数1时的几何含义→[a,b]的长度→D的面积→Ω的体积→Γ的弧长→Σ的面积内容小结1.定义:2.计算:则注意：利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.思考题解其中为平面y+z=5所截得的部分.解备用题

例1-1例1-2解

z解例1-3由对称性知，转动惯量：解关于坐标面和原点均对称，例2-1其中是球面解例2-2

计算曲面积分例3-1解R

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