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小波分析方法解偏微分方程郑小洋欢迎各位教授、老师、同学指导！第1页小波分析基本知识

背景知识多分辨分析惯用小波偏微分方程数值解法差分方法有限元方法拟谱方法自适应格点方法

小波分析方法解偏微分方程第2页小波分析基本知识特征：时频局部化性质,以及对高频成份采用逐步精细时空取样步长.应用：信号处理、图象处理、语音识别与合成，CT，机器视觉等科技领域。它把数据、函数或算子分割成不一样频率成份,再用分解方法去研究对应尺度下成份。第3页从事调和分析研究Caldenon(1964)原子分解；物理学界从事量子力学研究AslaKsen和Klander(1968)所结构(ax+b)-群相干态;Strombery构结构了第一个小波基：该小波呈指数衰减并在.第二个例子是Meyer基（Meyer1985）,此处是紧支且属于;Tchamitchian(1987)结构了第一个双正交小波基;Meyer,Mallet(1988)结构多分辨分析理论;Daubechies(1988)小波;B.Alpert,Legendre小波(1990).

第4页多分辨分析第5页Daubchies小波

(4)第6页性质为线性组合;结论:

第7页Legendre小波第8页Legendre小波性质分段多项式；区间小波；不连续;消失矩特征；多小波特征.第9页迫近分析Sobolev空间Holder类第10页Besov空间第11页讨论偏微分方程类型基本类型非线性类型第12页此处为线性部分,为非线性部分.比如reaction-diffusion方程Burgers’方程Korteweg-deVries方程Navier-Stokes方程能够转化为这类型第13页处理方向:微分算子计算或表示时间差分离散边界处理收敛性分析误差预计稳定性分析微分算子自适应计算时间和空间自适应计算第14页偏微分方程数值解法差分方法思绪:差分代替微分五点差分格式为第15页比如向前差分格式向后差分格式,为隐格式.六点对称格式(Crank-Nicolson格式),误差阶为第16页有限元方法差分法从定解问题微分或积分形式出发,用数值微商或数值积分公式导出对应线性代数方程组.结构迫近微分方程定解问题差分格式:直接差分化法,积分插值法以及有限体积法或广义差分法.差分解存在唯一性,收敛性以及稳定性研究.这些理论问题为对差分解作出先验预计.基于极值定理以及能量不等式作预计.有限元法从定解问题变分形式出发,用Ritz-Galerkin方法导出对应线性代数方程组.第17页变分形式:Findsuchthat第18页结构基函数矩阵条件数处理.迫近分析第19页小波分析方法思绪:Galerkin方法为基础;半群方法为基础.基于偏微分方程或积分方程信号处理,流体动力学问题就能用此方程描述.这些问题解特征为光滑(smooth),非振荡(non-oscillatory),shock.方法为:算子和解投影到小波基上.基函数消失矩特征使得解和算子能够稀疏表示,所以就能给出快速,自适应算法.这些算法基于在光滑区域用较少小波系数,在奇异区域得用较多小波系数.第20页解这类方程主要一步为时间离散.因为进化方程扩散项,标准显格式允许小时间步长.另外,隐格式允许大时间步长,但在每一步得解线性方程组,这就给应用带来了困难.B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-)用方法:Wavelet-Galerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配点方法,非标准小波表示.JohnWeiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用是时间差分,空间离散.计算比较复杂,但精度好.第21页小波Galerkin方法Galerkin配点方法:经过投影将连续算子离散化为矩阵形式,此方法困难在于二重积分数值计算;为处理这困难,研究者提出了函数基用小波基,此方法被称为小波Galerkin方法.在作数值迫近计算时,因为用了小波基,所以很多算子可用稀疏矩阵表示,那么小波Galerkin方法就为作快速数值计算提供了算法.总来说,小波Galerkin方法在作迫近分析时比Adomian分解方法更可靠,在作数值迫近计算时比Galerkin方法速度更加快.算法复杂性为第22页半群方法非标准小波表示:有限周期多分辨分析那么算子非标准表示可由系列算子组成

第23页线性算子迫近第24页;;;第25页第26页;;第27页

第28页用非标准表示方法解偏微分方程优点:算子矩阵稀疏,可用Fourier变换处理,矩阵条件数得到控制;算法复杂性为;自适应算法复杂性为.比如:两个算法:算子作用在函数自适应,函数逐点内积自适应.

第29页能够得到数值解Burgers’方程迫近到阶为第30页另外,得分析稳定性;不一样小波基础误差预计;时间空间自适应.Legendre多小波非标准表示优点:算子矩阵稀疏;子区间元素相同;维数低;可线性化非线性项.第31页Legendre多小波不连续,微分算子处理方法:经过尺度方程导出系数方程组,解此方程组可得到算子矩阵;用传统弱导数经过积分计算算子矩阵.此小波处理边界有优势.第32页边界处理?结构多分辨分析,使得小波基满足边界条件.用插值小波,配点方法.变系数处理?时间空间自适应?第33页谢谢大家!第34页第35页第36页第37页第38页第39页第40页第41页第42页第43页第44页第45页第46页第47页第48页第49页第50页第51页第52页第53页第54页第55页第56页第57页第58页第59页第60页第61页第62页第63页第64页第65页第66页第67