《3.2双曲线》课件与导学案

第一课时双曲线及其标准方程第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线温故知新1.椭圆的定义和等于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.

平面内与两定点F1、F2的距离的2.椭圆的标准方程焦点在y轴焦点在x轴3.引入问题差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的合作探究数学实验[1]取一条拉链；[2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点；[3]拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？解惑提高①如图(A)，

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a由①②可得：

||MF1|-|MF2||=2a

（差的绝对值）上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.解惑提高定义:

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数的点的轨迹叫做双曲线.（小于︱F1F2︱）①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.③此常数记为2a，则a<c.2FF1M解惑提高

双曲线的一支两条射线1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a

(小于|F1F2|)的点的轨迹是什么？2、若常数2a=0,轨迹是什么?线段F1F2的垂直平分线4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？轨迹不存在3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？||MF1|-|MF2||=2a

<|F1F2|合作探究x双曲线标准方程的推导

探讨建立平面直角坐标系的方案建立直角坐标系设点列式化简(“对称”、“简洁”)F2F1MOy1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系.2.设点.设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,非零常数等于2a

（a>0），则F1(-c,0),F2(c,0).温故知新xF2F1MOy3.列式．即4.化简.令c2-a2=b2,其中b>0

代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2即：（a>0，b>0）想一想:焦点在y轴上的双曲线的标准方程？解惑提高双曲线的两种标准方程的特征①方程用“－”号连接.③

.

④如果的系数是正的，则焦点在轴上；如果的系数是正的，则焦点在轴上.如何确定焦点位置？？②大小不定.把双曲线方程化成标准形式后，

焦点跟着正项走

×××D小试牛刀典型例题求双曲线的标准方程例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为

由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此b2=c2-a2=52-32=16，所以双曲线的标准方程为

两条射线轨迹不存在典型例题求双曲线的标准方程例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

变式典型例题求双曲线的标准方程解惑提高典型例题求动点的轨迹方程

例3.一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m，并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样的曲线上？并求出轨迹方程.分析：因为在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以A，B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上.解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，则设炮弹爆炸点P的坐标为（

x，y），则

又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400

所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为

(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.典型例题双曲线标准方程的应用课堂小结课堂小结当堂检测D6或－6C《3.2.1双曲线及其标准方程》导学案第三章圆锥曲线的方程学习目标1.掌握双曲线的标准方程及其求法.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.

3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。情景导学

问题导学新知探究1.双曲线的定义

概念解析探究新知从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。

尝试与发现

2.双曲线的标准方程

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=c2-a2双曲线的标准方程双曲线与椭圆的比较

椭圆双曲线定义|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的关系b2=a2-c2b2=c2-a2焦点在x轴上焦点在y轴上1.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的?小试牛刀提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.2.判断(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

)(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(

)(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×答案:D例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.典例解析(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.

求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.归纳总结跟踪训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程.跟踪训练典例解析

跟踪训练2.“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.跟踪训练解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为(

)A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线当堂达标解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.答案:D2.已知双曲线(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为(

)A.4a B.4a-mC.4a+2m

D.4a-2m解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.答案:CA.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).答案:D4.一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=

,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(3)a=b,经过点(3,-1).课堂小结第二课时双曲线的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线定义图象方程焦点a.b.c

的关系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）课前回顾

双曲线F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和坐标原点都对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.（3）-ccM(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab5、离心率离心率.∵c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：（4）等轴双曲线的离心率e=(5)xyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:小结或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性

顶点

渐近线离心率图象例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程.解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例题讲解

例2

若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为

.2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的方程为

.课堂练习

4.

求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程.

解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为

双曲线的渐近线方程为

解出

椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yxF10F2Mxy0F1F2p小结渐近线离心率顶点对称性范围

准线|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a

短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2b无y=abx±1、“共渐近线”的双曲线的应用>0表示焦点在x轴上的双曲线；

<0表示焦点在y轴上的双曲线.《3.2.2双曲线的简单几何性质(1)》导学案第三章圆锥曲线的方程1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.根据几何条件求双曲线的标准方程.学习目标

问题导学1、范围

新知探究

2、对称性

3、顶点

（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线

（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率

（2）e的范围：e>1（3）e的含义：

问题探究

双曲线的几何性质

标准方程图形双曲线的几何性质标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±

xy=±

x离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为

.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断

答案:(1)√

(2)×

(3)√小试牛刀A.-5

B.-35

C.19

D.-11答案:B例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.典例解析由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.归纳总结跟踪训练1

求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.跟踪训练例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.典例解析2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.归纳总结跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.跟踪训练1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(

)答案:C当堂达标答案:AD3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是

.

解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),答案:x2-y