自动控制原理 课件 王军 第6、7章 自动控制系统的校正、离散控制系统

1《自动控制原理》

第六章自动控制系统的校正6.1系统校正的基本概念6.2常用控制规律6.3串联超前校正6.4串联滞后校正6.5串联超前-滞后校正3.1典型输入信号的时域性能指标3.1.1典型输入信号1、单位阶跃信号数学表达式为：

它表示一个在t=0时出现的，幅值为1的阶跃变化函数，如图所示。在实际系统中，如指令的突然转换、电源的突然接通、符号的突变等，均可以近似看成阶跃函数的形式。单位阶跃信号的拉氏变换为6.1系统校正的基本概念6.1.1校正的定义性能指标是衡量控制系统性能优劣的尺度，也是系统设计的技术依据。校正装置的设计通常是针对某些具体性能指标来进行的。系统常用的性能指标有以下两类。1、稳态性能指标稳态性能指标有：静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka和稳态误差ess，它们能反映出系统的控制精度。2、动态性能指标时域性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量(或最大百分比超调量)Mp；频域性能指标包括开环频域指标和闭环频域指标。

正确选择各项性能指标，是控制系统设计中的一项最为重要的工作，不同系统对指标的要求应有所侧重。性能指标的提出应切合实际，满足生产要求，切忌盲目追求高指标而忽视经济性，甚至脱离实际。6.1.2校正的方法校正装置的设计是自动控制系统全局设计中的重要组成部分。设计者的任务是在不改变系统被控对象的情况下，选择合适的校正装置，并计算和确定其参数，以使系统满足所要求的各项性能指标。按照校正装置在系统中的联接方式，控制系统的校正方式可以分为串联校正、反馈（并联）校正两种方式。如果校正装置Gc(s)串联在系统的前向通道中，则称其为串联校正。如果校正装置Gc(s)设置在系统的局部反馈回路的反馈通道上，则称其为反馈校正。本章主要讨论串联校正。6.2串联超前校正6.2.1典型超前校正装置典型无源超前装置如图所示。该校正装置的传递函数可表达为：其中采用该无源超前校正装置进行串联校正后，会使得系统的开环增益下降β倍，因此需要进行补偿。补偿后的无源超前校正装置的传递函数为：根据上式画出超前校正的对数频率特性。由图可知，超前校正装置对频率在和的输入信号有明显的微分作用，其相角曲线上相角总是超前的，即输出信号的相角超前于输入信号的相角。在曲线上有一个最大值，即处最大超前相角。正好处于和的几何中心。仅与β

有关，β

值越大，则超前校正装置的微分效应越强，使系统的抗干扰能力明显下降。为了保持较高的信噪比，实际用的β一般不大于20，而处得对数值为6.2.2串联超前校正设计

超前校正装置的主要作用是通过其相位超前效应来改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校正装置的最大超前相位角出现在校正后系统的开环剪切频率(幅频特性的幅值穿越频率)ωc处。串联超前校正是利用超前校正装置的正相角来增加系统的相位裕量，以改善系统的动态特性。利用频率法设计超前校正装置的步骤:1、根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环增益K；2、利用确定的开环增益K，画出未校正系统开环传递函数GK(s)的Bode图，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角

，即，式中，

0为要求的相位裕量；

是因为考虑到校正装置影响剪切频率的位置而附加的相位裕量，当未校正系统中频段的斜率为-40dB/dec时，取

=50

150，当未校正系统中频段斜率为-60dB/dec时，取

=150

200；4、由下式可求出校正装置的参数β；5、若将校正装置的最大超前相位角处的频率ωｍ作为校正后系统的剪切频率ω’c

，则有可见，未校正系统的对数幅频特性幅值等于时的频率，即为校正后系统的剪切频率ω’c；6、根据ωｍ=ω’c，利用下式求超前校正装置的参数T2由此可得，超前校正装置加放大器Kｃ=β

后的传递函数为7、画出校正后系统的Bode图，检验性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大ε

值，从第三步起重新计算。例6.1某汽车的方向控制系统如图所示要求对其方向控制系统进行校正，使控制系统的稳态速度误差系数，相位裕量不小于400。解：(1)求开环增益为(2)画出未校正的伯德图，计算未校正系统的相位裕量γ

可由对数幅频中ωc=11.7rad/s求得(3)根据题意，至少需要超前相角为400-23.10=16.90。为了消除串联超前校正后幅频特性的剪切频率右移的情况，增加50的超前相角，故则则因为

求出ωm=ωc’=15.4rad/s（4）通过求得T2=0.039得到超前校正装置的传递函数为其中将其放大β倍，得到其中校正后的系统开环传递函数为(5)当ωc=15.4rad/s时，验证γ校正后的系统稳定预量超过了要求，需降低增补的超前相角ε，以降低成本。6.3串联滞后校正6.3.1典型滞后校正装置典型无源滞后装置如图所示。该校正装置的传递函数可表达为：其中与超前校正装置的计算方法相同，6.3.2串联滞后校正设计滞后校正装置的主要作用是在高频段造成幅值衰减，降低系统的剪切频率，以便能使系统获得充分的相位裕量，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性曲线变化不大。利用频率法设计滞后校正装置的步骤为：1、根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环增益K；2、

利用已确定的开环增益K，画出未校正系统开环传递函数GK(s)的Bode图，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、如未校正系统的相位和幅值裕量不满足要求，寻找一新的剪切频率ω’c，在ω’c处的相位角应满足下式∠GK(jω’c)=-180°+r0+ε式中，r0为要求的相位裕量；ε是为补偿滞后校正装置的相位滞后而附加的相位角，一般取ε=50

120；4、

为使滞后校正装置Gc(s)对系统的相位滞后影响较小（一般限制在50

120），其最大滞后相角处的频率ωm应远小于ω’c（即ωm<<ω’c）。因此，一般取滞后校正装置的第二个穿越频率：ω2=1/T=(1/2

1/10)ω’c，ω2取得愈小，对系统的相位裕量影响愈小，但太小则校正装置的时间常数T将很大，这也是不允许的；5、确定使校正后系统的幅值曲线在新的剪切频率ω’c处下降到0dB所需的衰减量20lg|GK(jω’c)|因ωm<<ω’c，所以滞后校正装置在新的剪切频率ω’c处有20lg|Gc(jω’c)|≈-20lgα

根据在新的剪切频率ω’c处，校正后系统的对数幅值必为零，即20lg|GK(jω’c)Gc(jω’c)|=20lg|GK(jω’c)|+20lg|Gc(jω’c)|=0

由此可得，滞后校正装置的传递函数为6、画出校正后系统的Bode图，检验性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大ε值，从第三步起重新计算。例6.2设有一单位反馈控制系统，其开环传递函数为要求稳态速度误差系数，相位裕量不小于350，增益裕量不小于10dB，试设计一个滞后校正装置，满足要求的性能指标。解：(1)根据稳态指标求出K=20，并求出相位裕量为-30.60，增益裕量为-12dB。(2)取γ

=350，相角裕量为350+120=470，相角应为-1800+470=-1330，此时为了使ω=ωc时，系统的伯德图为0dB，因此滞后校正必须产生的幅值衰减为-24.73dB，因此并根据求得此时的滞后校正装置的传递函数为校正后系统同的开环传递函数为最后验证校正后的系统满足系统要求的稳定和动态指标。超前校正和滞后校正的区别与联系超前校正滞后校正原理利用超前网络的相角超前特性，改善系统的动态性能。利用滞后网络的高频幅值衰减特性，改善系统的稳态性能。效果(1)在ωc附近，原系统的对数幅频特性的斜率变小，相角裕量γ与幅值裕量Kg变大。(2)系统的频带宽度增加。(3)由于γ增加，超调量下降。(4)不影响系统的稳态特性，即校正前后ess不变。(1)在相对稳定性不变的情况下，系统的稳态精度提高了。(2)系统的增益剪切频率ωc下降，闭环带宽减小。(3)对于给定的开环放大系数，由于ωc附近幅值衰减，使γ、Kg及谐振峰值Mr均得到改善。超前校正滞后校正缺点(1)频带加宽，对高频抗干扰能力下降。(2)用无源网络时，为了补偿校正装置的幅值衰减，需附加一个放大器。频带变窄，使动态响应时间变大。应用范围(1)ωc附近，原系统的相位滞后变化缓慢，超前相位一般要求小于550，对于多级串联超前校正则无此要求。(2)要求有大的频宽和快的瞬态响应。(3)高频干扰不是主要问题(1)ωc附近，原系统的相位变化急剧，以致难于采用串联超前校正。(2)适于频宽与瞬态响应要求不高的情况。(3)对高频抗干扰有一定的要求(4)低频段能找到所需要的相位裕量。

超前校正和滞后校正的区别与联系6.4串联超前-滞后校正6.4.1串联超前-滞后校正装置典型无源超前-滞前装置如图所示。该校正装置的传递函数可表达为：其中令分母多项式具有两个不等的负实根，可写为由此可见，式子前半部分是滞后作用，后半部分是超前作用，图形的形状由参数决定。6.4.2串联超前-滞后校正装置校正设计超前-滞后校正装置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越频率(剪切频率)上增大了相位裕量，提高了系统的相对稳定性；滞后部分在幅值穿越频率以上，将使幅值特性产生显著的衰减，因此在确保系统有满意的瞬态响应特性的前提下，容许在低频段上大大提高系统的开环放大系数，以改善系统的稳态特性。利用频率法设计滞后-超前校正装置的步骤为：1、根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环增益K；2、画出未校正系统开环传递函数GK(s)的Bode图，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、如果未校正系统的相位和幅值裕量不满足要求，选择未校正系统斜率从-20dB/dec转为-40dB/dec的转折频率为校正环节超前部分的转折频率。4、根据响应速度的要求求出校正后系统的剪切频率，并以求出β。(也可将原系统相位穿越频率ωg作为校正后系统的幅值穿越频率ω’c)5、根据校正后系统相位裕量的要求，估算校正转置滞后部分的转折频率；6、画出校正后系统的Bode图，并检验系统的性能指标是否已全部满足要求。6.5常用控制规律6.5.1P控制规律在系统校正中引入P控制规律来增大系统开环增益，可提高系统的稳态精度，但系统的稳定程度会受到破坏，甚至出现闭环系统不稳定现象。6.5.2PD控制规律PD控制中的微分控制规律反映的是输入信号变化的趋势，因此PD控制能够在输入信号（偏差）变得过大之前“超前”感知输入信号的变化，提前进行控制，对于提高系统的稳定性、减小系统阶跃响应的超调量、缩短调节时间有较好的效果。6.5.3PI控制规律PI控制中的积分控制规律反映的是输入信号对时间的积分，当输入信号（偏差）为零时，输出信号m(t)仍然存在，因此积分作用与P

控制和PD

控制不同，不依赖于偏差存在，控制作用的结果可以实现无残差。6.5.4PID控制规律与PI控制相比，PID控制除了可以提高稳态精度外，还由于增加了D控制作用，控制器输出能根据偏差的变化趋势进行“超前”调节，在动态特性上大大改善，因为对系统稳态与动态性能都有较好的控制效果，PID控制在工程实际中有广泛的应用。42谢谢大家！43《自动控制原理》

第七章离散控制系统7.1信号的采样与复现7.2z变换与z反变换7.3采样控制系统的数学模型7.4采样系统性能分析

在连续系统中，系统各处的信号都是时间的连续函数，这种在时间上连续，在幅值上也连续的信号称为连续信号或模拟信号。近年来，随着脉冲技术和数字计算机的蓬勃发展，离散控制系统的应用越来越广泛。与连续系统显著不同的特点是离散系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号。实际中，当连续系统中的信号以间断方式获得时，该连续系统也就变成离散系统。图中的A/D和D/A转换器起着模拟量与数字量之间的转换作用。A/D转换器相当于一个采样开关，D/A相当于一个保持器。由于这类系统中有采样脉冲或数码信号，因此对这类系统的研究虽然可以借鉴连续系统中应用的方法，但还需要研究它本身的特殊性。7.1信号的采样与复现7.1.1信号的采样将连续信号加到采样开关K的输入端，采样开关以周期T秒闭合一次，闭合的持续时间为τ秒，在闭合期间，截取被采样的幅值，作为采样开关的输出。开关闭合的持续时间τ很短，远小于采样周期T和装置的时间常数，因而τ可近似地认为趋于零，即把实际的窄脉冲视为理想脉冲。

7.1.2信号的复现1、采样定理系统中通常要把采样信号恢复成原连续信号。但是信号能否恢复到原来的形状，主要决定于采样信号是否包含反映原信号的全部信息。香农采样定理：假设原信号的最高次谐波的角频率为，采样信号的采样角频率为，如果采样周期满足下列条件，即则可无失真地再恢复为原连续信号。2、保持器若采样频率满足采样定理，把采样后的信号通过理想的低通滤波器滤去高频分量，滤波器的输出就是原来的连续信号。由于理想频率特性的滤波器是不存在的。工程上只能采用具有低通滤波功能的保持器来代替。保持器是将采样信号转换成连续信号的装置，可分为零阶、一阶和二阶保持器。零阶保持器的作用是把当前时刻的采样值，保持到下一个采样时刻到来之前。零阶保持器的单位脉冲响应是一个幅值为1、宽度为T的矩形波对上式取拉氏变换，可求得零阶保持器的传递函数为其频率特性为，代入上式绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线7.2z变换与z反变换7.2.1z变换采样信号对上式进行拉氏变换令，将记作，就变成了以复变量z为自变量的函数。称此函数为的z变换。记作采样函数z的变换是变量z的幂级数

表示采样脉冲的幅值；z的幂次表示该采样脉冲出现的时刻，包含着量值与时间的概念。7.2.2变换的性质与拉氏变换的性质相类似，z变换有线性定理、位移（时位移、复位移）定理、初值定理和终值定理等。见书中附表。特别注意终值定理。7.2.3z变换的求法1、级数求和法根据定义求解例7.1己知，求其z变换。解：则它的z变换式为令，则上式所示的等比数列是收敛的。可以得到当时a=0，由上式可得到单位阶跃函数的变换为2、部分分式法设f(t)的拉氏变换F(s)为将上式展开为部分分式和的形式，即则相应的时间函数为由上例中的结果求取f(t)的z变换。例7.2求的z变换解：用部分分式法对上式展开得其原函数为由式例7.1可求出3、用查表法求若已知函数的拉氏变换，用部分分式法将其展开，查附录1对应即可。7.2.4z反变换将变换为采样信号的过程为z反变换。z反变换可以记作求z反变换的方法通常有以下两种：1、长除法把式展开成按升幂排列的幂级数后相除

项的系数时间函数在采样时刻时值例7.3求的z反变换解：进行长除法运算得到查表得到2、部分分式展开法此法与用部分分式展开法求拉氏变换的思路类同。即是将通过部分分式分解为低阶的分式之和，直接从z变换表中求出各项对应的z反变换，然后相加得到。例7.4

已知解：将F(z)展成部分分式查表，得到所以7.3采样控制系统的数学模型7.3.1脉冲传递函数的定义采样控制系统常用的数学模型是脉冲传递函数。离散系统脉冲传递函数的定义为：在零初始条件下，输出离散时间信号的z变换C(z)与输入离散信号的z变换R(z)之比，即其中从物理意义来看，离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的z变换，即

是单位冲激响应的离散表示。若系统的输入，则输出信号的z变换。7.3.2开环系统的脉冲传递函数1、串联环节的脉冲传递函数当环节串联时，环节之间有、无采样开关的存在，其等效的脉冲传递函数是不同的。当环节之间有采样开关存在，根据脉冲传递函数的定义得则脉冲传递函数为当n个环节串联时，其脉冲传递函数为当环节之间没有采样开关存在，根据脉冲传递函数的定义，脉冲传递函数为由此可知，两个串联环节间无采样器隔开时，则等效脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积经采样后的变换。当n个环节串联时，其脉冲传递函数为例7.7

假设图原中，，试求两种连接形式的脉冲传递函数。解：对于第一种连接，脉冲传递函数为对于第二种连接，脉冲传递函数为例7.8

求零阶保持器与环节串联时的脉冲传递函数，结构图如图所示。解：具有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数为因为所以查z变换表，进行z变换，得2、并联环节的脉冲传递函数两个环节并联显然有即n个环节并联，等效脉冲传递函数为所有环节的脉冲传递函数的和。7.3.3闭环系统的脉冲传递函数1、闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法

采用按定义计算，根据系统的结构列写出各变量之间的关系式，然后消去中间变量，求得系统输出量的z变换与输入量的z变换之比。例7.9求出下图所示系统的C(z)解：对于连续环节，有对于连续环节，有代入得到采样后有取z变换后，整理得因为采样后最后进行z变换得到2、闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法如果系统从输入信号进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关，这时可以用简易法计算系统闭环脉冲传递函数。其步骤为：（1）将离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；（2）表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。（3）取变换，把有“*”号的单项中的变换为，多项相乘后仅有一个“*”号的其变换等于各项传递函数乘积的变换。例7.10

系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数解：去掉采样开关后，连续系统的输出表达式为对上式进行脉冲变换（加“*”）变量置换得7.4采样系统性能分析7.4.1采样系统的动态性能无论连续系统还是采样系统，系统动态性能都和系统闭环极点位置有密切关系。研究采样系统脉冲传递函数闭环极点（特征根）在平面上的位置，可以定性地了解系统参数对动态性能的影响，这对系统分析和校正均具有指导意义。一般情况下，闭环脉冲传递函数可以表示为系统在单位阶跃输入信号作用下，输出z变换为取z反变换，求得系统输出在采样时刻的离散值式中第一项为的稳态分量；第二项为的暂态分量。1、实数极点（1）设为正实数，则对应的暂态分量按指数规律变化。又当①，系统将是不稳定的。②，极点在单位圆与正实轴的交点上，则对应的响应分量为等幅序列。系统则处于稳定边界。③，极点在单位圆内的正实轴上，则对应的响应分量按指数规律衰减。且极点越靠近原点，其值越小且衰减越快。（2）设为负实数，则对应的暂态分量按正负交替方式振荡。①，极点在单位圆外的负实轴上，对应的响应分量为正负交替发散振荡形式。②，极点在单位圆与负实轴的交点上，对应的响应分量为正负交替等幅振荡形式。③，极点在单位圆内的负实轴上，对应的响应分量为正负交替收敛振荡形式。2、复数极点当为复数时，则必为共扼复数，对应的暂态响应分量为余弦振荡形式，振荡角频率与共扼复数极点的幅角有关。1)，极点在单位圆外的平面上，则对应的响应分量为增幅振荡形式，系统将是不稳定的2)，极点在单位圆上，则对应的响应分量为等幅振荡形式，系统处于稳定边界。3)，极点在单位圆内，则对应的响应分量为衰减振荡形式。7.4.2采样系统的稳定性采样控制系统稳定的充分必要条件为：系统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于平面单位圆的内部。1、z平面与s平面的影射关系因为因此所以s平面上的虚轴对应到z平面上，幅角由-π经0变化到+π，相应的点在平面上逆时针画出一个以原点为圆心，半径为１的单位圆。当幅角由-

时+

，相应的点就沿单位圆逆时针转无穷多圈。平面的虚轴映射到平面上，是以原点为圆心、半径为１的单位圆。s平面左半平面映射到z平面上是单位圆内部；s平面右半平面映射到z平面上是单位圆外部区域。例7.11

图所示系统中，设采样周期T=1秒，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。解：系统开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为（1）将K=4和T=1代入方程，得解得由于z1、z2均在单位圆内，所以系统稳定。（2）将K=5和T=1代入方程，得解得由于z2在单位圆外，所以系统不稳定。2、劳斯稳定判据使z平面的单位圆内映射到一个新的平面的虚轴之左，此新的平面我们称为w平面。在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据。作双线形变换同时有令、，代入整理，得若有即为z平面中的单位圆方程，若极点在z平面的单位圆内，则有，对应于w平面中的，即虚轴以左；若，则为z平面的单位圆外，对应于w平面中的，就是虚轴以右。利用上述变换，可直接应用连续系统中所介绍的劳斯稳定判据来判别离散系统的稳定性。例7.12已知系统结构如图所示，采样周期秒。试用劳斯判据确定系统稳定的值范围。解：系统开环脉冲传递函数