高考数学二轮复习作业手册 第5讲 函数与方程、函数模型及其应用 理

专题限时集训(五)[第5讲函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点是()A．x＝0或x＝eq\f(1,2)B．x＝－2或x＝0C．x＝eq\f(1,2)D．x＝02．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件3．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，－1)4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则a的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(2，＋∞)D．(－∞，2)5．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，则y＝f(x)()A．在区间eq\f(1,e)，1，(1，e)内均有零点B．在区间eq\f(1,e)，1，(1，e)内均无零点C．在区间eq\f(1,e)，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间eq\f(1,e)，1内无零点，在区间(1，e)内有零点6．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)（x＋1），x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为()A．1－2aB．2C．1－2－aD．2－a－17．当a>0时，函数f(x)＝(x2－2ax)ex的图像大致是()图X5－18．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．－1，－eq\f(1,2)∪eq\f(1,4)，eq\f(1,3)B．－1，－eq\f(1,2)∪eq\f(1,4)，eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)∪eq\f(1,2)，1D．－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)∪eq\f(1,2)，19．若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．10．定义：如果函数y＝f(x)在定义域内给定的区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝eq\f(f（b）－f（a）,b－a)，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．11．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－ax，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是________．

13.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋1，x≥a，,4x－4×2x－a，x<a.))(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．14．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大？最大利润为多少？15．已知函数f(x)＝ln(ex＋a＋1)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx在区间[－1，1]上是减函数．(1)若g(x)≤λt－1在x∈[－1，1]上恒成立，求实数t的最大值；(2)若关于x的方程eq\f(lnx,f（x）)＝x2－2ex＋m有且只有一个实数根，求m的值．专题限时集训(五)1．D[解析]当x≤1时，2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)(舍去)．故函数f(x)的零点是x＝0.2．B[解析]利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．故选B.3．B[解析]函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x单调递增，故在[0，＋∞)上函数f(x)的最小值为f(0)＝1，故函数f(x)在R上的最小值为1.若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k>1.4．A[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，且x＝－1为函数f(x)的极大值点，x＝1为函数f(x)的极小值点．若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a同时满足f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝－2＋a<0，解得－2<a<2，即实数a的取值范围是(－2，2)．5．D[解析]函数图像是连续的，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)，当x∈(0，e)时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(0，e)内单调递减．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)－lneq\f(1,e)>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－lne<0，所以函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点．6．A[解析]画出函数f(x)的图像．当0<a<1时，直线y＝a与函数y＝f(x)图像交点的横坐标即为函数F(x)的零点，根据图像可得两个函数图像共有五个交点，其中两个交点关于直线x＝3对称，两个交点关于直线x＝－3对称，这四个交点的横坐标之和为零，第五个交点的横坐标x满足－logeq\f(1,2)(－x＋1)＝a，即log2(－x＋1)＝a，解得x＝1－2a.7．B[解析]f′(x)＝(x2－2ax＋2x－2a)ex，由于方程x2－2ax＋2x－2a＝0的判别式Δ＝4a2＋4>0，且－2a<0，故方程x2－2ax＋2x－2a＝0有两个不相等的异号实数根x1，x2(设x1<x2)，则f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．函数f8．B[解析]当0≤x<1时，f(x)＝x，又f(x＋1)＝(x＋1)－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，故函数f(x)是以1为周期的周期函数．在同一坐标系中，分别作出函数y＝f(x)，y＝kx＋k的图像，可知当方程f(x)＝kx＋k有三个不同的实根时，k满足3k＋k≥1且2k＋k<1，或者－3k＋k≥1且－2k＋k<1，解得eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3)或－1<k≤－eq\f(1,2).9．2eq\r(2)[解析]由于Δ＝m2＋8>0，故函数f(x)一定有两个不同的零点，又－2<0，所以两个零点异号，故x2>0，x1<0，所以x2－x1＝x2＋(－x1)≥2eq\r(－x1x2)＝2eq\r(2)或x2－x1＝eq\r(（x2＋x1）2－4x1x2)＝eq\r(m2＋8)≥2eq\r(2).10．(0，2)[解析]因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，且eq\f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m，所以关于x的方程－x2＋mx＋1＝m，即x2－mx＋m－1＝0在(－1，1)内有实数根，若m＝0，方程无解，所以m≠0，解得方程的根为x1＝1或x2＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2)．11.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(2,3)))[解析]根据偶函数和周期性把函数拓展到[－2，3]，其图像如图所示．直线y＝ax＋2a过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即eq\f(2,5)<a<eq\f(2,3).12．(e，＋∞)[解析]由于函数是偶函数，当y＝f(x)有且只有4个零点时，0一定不能是函数的零点，且在x>0时有且仅有2个不同的零点，即方程ex－ax＝0有两个正实根．方法一：(分离参数，构造函数的方法)a＝eq\f(ex,x)＝φ(x)，则φ′(x)＝eq\f(x－1,x2)ex，可得x＝1为函数φ(x)在(0，＋∞)上唯一的极小值点，也是最小值点，φ(x)min＝φ(1)＝e，且在x>0且x→0时，φ(x)→＋∞.故只要a>e即可，故a的取值范围是(e，＋∞)．方法二：(数形结合的切线法)在同一坐标系中分别作出函数y＝ex，y＝ax在(0，＋∞)的图像，可知当直线y＝ax与曲线y＝ex相切时两个函数图像有唯一的公共点；当直线y＝ax的斜率大于曲线y＝ex过坐标原点的切线的斜率时，两曲线有两个不同的公共点．设切点坐标为(x0，ex0)，则在该点处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，该直线过坐标原点时，－ex0＝－x0ex0，解得x0＝1，此时切线斜率为e，故a的取值范围是(e，＋∞)．13．解：(1)因为x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，则有0<t<2af(x)<1当x<a时恒成立，转化为t2－4×eq\f(t,2a)<1，即eq\f(4,2a)>t－eq\f(1,t)在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－eq\f(1,t)，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋eq\f(1,t2)>0，所以p(t)＝t－eq\f(1,t)在(0，2a)上单调递增，所以eq\f(4,2a)≥2a－eq\f(1,2a)，所以2a≤eq\r(5)，解得a≤log2eq\r(5).(2)①当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(a2,4).(i)当eq\f(a,2)≤a，即a≥0时，f(x)min＝f(a)＝1；(ii)当eq\f(a,2)>a，即－4≤a<0时，fmin(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).②当x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a.令t＝2x，t∈(0，2a)，设h(t)＝t2－eq\f(4,2a)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,2a)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,4a).(i)当eq\f(2,2a)<2a，即a>eq\f(1,2)时，hmin(t)＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2a)))＝－eq\f(4,4a)；(ii)当eq\f(2,2a)≥2a，即a≤eq\f(1,2)时，h(t)在开区间t∈(0，2a)上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值．综合①，②知当a>eq\f(1,2)时，1>－eq\f(4,4a)，函数f(x)min＝－eq\f(4,4a)；当0≤a≤eq\f(1,2)时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－eq\f(a2,4)，函数f(x)无最小值．故当a>eq\f(1,2)时，函数f(x)有最小值为－eq\f(4,4a).14．解：(1)由题意得，所获得的利润为y＝10·[2(x－P)－P]＝10(2x－3P)＝20x－30P＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知y′＝20－6x＋eq\f(96,x)＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－2（3x2－10x－48）,x)＝eq\f(－2（3x＋8）（x－6）,x).令y′＝0，可得x＝6或x＝－eq\f(8,3).从而当4≤x≤6时，y′>0，函数在[4，6]上为增函数；当6<x≤12时，y′<0，函数在(6，12]上为减函数．所以当x＝6时，函数取得极大值，也为[4，12]上的最大值．即当x＝6时，获得最大利润，最大利润为ymax＝20×6－3×62＋96ln6－90＝(96ln6－78)万元，所以当每台机器日产量为6万件时，可以获得最大利润，为(96ln6－78)万元．15．解：(1)∵f(x)＝ln(ex＋a＋1)是实数集R上的奇函数，∴f(0)＝0，即ln(e0＋a＋1)＝0⇒2＋a＝1⇒a＝－1，将a＝－1代入，则f(x)＝lnex＝x，显然为奇函数．∴g(x)＝λf(x)＋sinx＝λx＋sinx，∴g′(x)＝λ＋cosx，x∈[－1，1]．要使g(x)是区间[－1，1]上的减函