自动控制原理 第3版 课件 陶洪峰 03 时域分析法

第三章控制系统的时域分析法3.1

引言3.2一阶系统分析3.3二阶系统分析3.5

线性系统的稳定性分析3.6

稳态误差及其计算3.4高阶系统分析动态性能分析

时域响应：指系统在时间域内对外界输入的响应。亦即系统数学模型的时域解。

分析的条件：零初始状态。即在r（t）作用前系统处于静止状态，或稳定运行状态。

分析方法

:对于典型系统（一阶、二阶），施加典型输入信号（单位阶跃、斜坡、脉冲），根据系统传函求出C（s），再反变换求出其对应的时间响应c（t）的表达式，进行系统分析。R(s)C(s)L-1C(t)§3.1系统的时域响应及性能指标时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能指标示意图Δ=±5%或±2%动态过程稳态过程最大偏移量

一般情况下，分析一个控制系统主要从稳定性、稳态性能和动态性能三方面来考虑，这些性能的衡量标准及详细指标参数如下表所示。快速性平稳性(稳定性)

上升时间tr：

输出响应从零开始第一次上升到稳态值时所需的时间。即:c(tr)=c(∞)=1│第一次。峰值时间tp：输出响应从零开始上升到第一个极值(最大值)处时所需的时间。即:dc(tp)/dt=0│第一次。调节时间ts：输出响应达到并保持在一个允许误差带Δ内时所需的最短时间。动态性能指标的定义工程规定：Δ＝±5%或±2%

快速性指标

平稳性指标

超调量σ%：输出响应超出稳态值的最大偏移量占稳态值的百分比。即：

稳态误差ess：也称为静态误差，简称静差。衡量输出响应进入稳态后所表现出来的性能，即表示系统的控制精度。定义式：稳态性能指标的定义五种常用典型输入信号单位脉冲信号是一种理想信号，实际使用中，常用单位窄脉冲信号近似代替δ(t)。§3.2一阶系统时域分析1.数学模型T—惯性时间常数R(s)C(s)特点：是一个典型的惯性环节。如RC电路，T=RC。开环传函为：R(s)C(s)

r(t)=1(t)→R(s)=1/s→C(s)=Φ(s)R(s)即：2.单位阶跃响应0T2T3T4T

tc(t)10.630.860.950.98特点：是一个单调上升，无超调的过程。指标：由图知σ％=0，

tr=t

p=∞(不存在)。ts=3T，Δ=5%4T，Δ=2%3.其它信号的时域响应特点：见下表输入信号r(t)输出响应c(t)δ(t)

1(t)

t§3.3二阶系统单位阶跃响应分析1.数学模型其中ζ——

阻尼比T——

闭环时间常数ω

n=1/T——无阻尼自然振荡频率(rad/s)R(s)C(s)特点：是一个典型的振荡环节。如RLC电路。R(s)C(s)开环传函有两种形式：其中：K——开环增益；T——开环时间常数用两种表达式可进行两组参数（ωn、ζ和K、T）之间的换算。2.闭环特征根的特点闭环传函的特征方程为：D(s)=s2+2ζω

ns+ωn2=0特征根为：欠阻尼（0＜ζ＜1）：s1.2为一对共轭复根

s1.2=-σ±jωd临界阻尼（ζ=1）s1.2=-ωn为一对负实重根。过阻尼（ζ＞1）s1.2为两个不同的负实根零阻尼（ζ=0）s1.2为一对共轭虚根，输出响应为等幅振荡。σ＝ζωn为衰减系数为实际振荡频率二阶系统特征根的分布零阻尼ζ＝０临界稳定线左半平面ζ＞０稳定区右半平面ζ＜０不稳定区s1×s2

××s2×s1=s2×s2ωds1×s2×－σθωn过阻尼ζ＞1临界阻尼ζ=1欠阻尼ζ＜1j0定义：阻尼角θ3.单位阶跃响应特性

过阻尼响应（ζ＞1

）特征根为两个不同的负实数，即：故：T1、T2为过阻尼时间常数且T1＞T2二阶系统过阻尼相应的特点:(1)过阻尼响应表达式中，有2个单调衰减项，因此，过阻尼响应是一条单调上升、无超调的非周期响应曲线。而且因有2个衰减项，其上升速度较慢。(2)如果ζ＞＞1，则，，即s2距虚轴较远，其对系统性能的影响很小，可以忽略。此时，二阶系统可以等效为由s1决定的一阶系统。即。此时，其性能分析和指标计算都可以参考一阶系统的方法进行，即ts=(3~4)T1，σ=0。

临界阻尼响应（ζ=1

）特征根为相同的负实数，即：故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的单调上升，无超调的过程。但上升速度比过阻尼快。

欠阻尼响应（0＜ζ＜1）特征根：s1.2=-σ±jωd，为一对共轭复数。故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的振荡衰减过程，有超调。

零尼响应（ζ=0）特征根：s1.2=±jωn，为一对共轭纯虚数。故：特点：从坐标原点出发，以c(t)=1为中心的等幅振荡过程。此时，系统处于临界稳定状态。二阶系统单位阶跃响应小结：见P49-50：1）~4）。过阻尼响应指标的计算公式与一阶系统相似。如下：临界阻尼响应指标的计算公式如下：3.

指标计算依据：各响应表达式和各指标的含义。欠阻尼响应指标的计算公式：c(tr)=c(∞)=1│第一次dc(tp)/dt=0│第一次c(ts)=0.95或0.98于是得到：欠阻尼响应指标的计算公式如下：说明：（1）由于ζ≥１，系统的响应较慢，故二阶系统一般大都设计成欠阻尼状态。对于一些不允许出现超调（如液体控制系统，超调会导致液体溢出）或大惯性（如加热装置）系统。则可采用过阻尼状态。（2）工程上常取：ζ=0.4~0.8，对应超调量σ%=(1.5~25.4)%。二阶系统性能指标及其关系阻尼比ζ1.00.80.7070.60.50.4超调量σ％01.5%4.3%9.5%16.3%25.4%上升时间tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T1.93T二阶最佳系统ζ

=0.707为最佳阻尼比其中：T为二阶系统开环时间常数。动态性能指标的计算方法：根据题意写出闭环传函Φ(s)并标准化与比较ζωn带公式可求得tr、tp、ts、σ%【P51例3.1】R(s)C(s)【例3.2】系统结构如图。试分别求在K=1000和K=150时系统单位阶跃相应的动态指标。解：（1）K=1000时（2）K=150时同理可算得：ωn=12.5s-1，ζ=1.41→过阻尼【作业】P77-97：3-2、3-3本节结束！§3-4高阶系统时域分析1.高阶系统的单位阶跃响应R(s)=1/spl为闭环传函的n个特征根（极点）2.高阶系统特征根的分布s1×s2×j0x0×××××≥5x主导极点非主导极点×s2×00×偶极子结论：（1）忽略非主导极点的影响，系统的特性主要就由一对主导极点来决定。此时，系统的传函可近似表示为：（2）系统对应于某个参数的主导极点可通过第4章的根轨迹法求得。§3.5

控制系统的稳定性分析1.系统稳定的充要条件系统稳定性定义Pl必须为“负”

系统稳定的充要条件为：闭环传函的特征根均具有负实部（负实数或具有负实部的共轭复根）。或闭环极点均位于[s]左半面。由此得下图：j0稳定区不稳定区临界稳定线稳定性示意图2.劳斯稳定判据依据

控制系统稳定的条件实系数方程根与系数的关系___劳斯表设系统特征方程为：a0sn+a1sn-1+a2sn-2+…

+an-1s

+an=0snSn-1Sn-2Sn-3Sn-4

s1s0a0a2a4a6a8…a1a3a5a7

a9…b3.1b3.4

b4.3an特点：（1）劳斯表形状为一“倒三角形”。（2）每两行元素个数相同，不够用“0”补齐。（3）行列式第一列为上两行第一列，第二列为上两行后一列。（4）次对角线–主对角线。（5）分母全为上一行第一列元素。劳斯判据：

若系统特征方程的各项系数均为正，且劳斯表中第一列元素全为正时，系统稳定。否则，系统不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程正实部根的个数。例：设系统特征方程为：s4+2s3+s2+s+3=0S4S3S2S1s01321030.53-11结论：系统不稳定，且有两个正实部根。两个推论：（1）三阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正，且“中间大、两头小”。（2）二阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正。两种特殊情况的处理

劳斯表中某行第一列元素为零，其余不全为零。处理方法：用一个很小的正数“ε”代替零元素，继续列劳斯表。结论：系统肯定不稳定。处理后，若表中第一列元素全为正，则系统处于临界稳定，有纯虚根；若表中第一列有负元素，则系统不稳定，有正实部根。【例】P58例3-3。

劳斯表中某行元素全为零。处理方法：用该行的上一行元素为系数，对应构成辅助多项式F(s)，用F(s)′的系数代替全零行的元素，继续列劳斯表。结论：同第一种情况。【例】P59例3-5。劳斯判据的应用：

判断系统稳定性。确定系统稳定时某些参数（K、T、τ、Kh等）的取值范围。

P78习题3-9。初步判断系统的稳定程度。见P60：例3-6。解题思路：根据题意写出

φ(s)→写出特征方程→列劳斯表→根据表中第一列元素判断稳定性或另第一列中含未知参数的元素都大于零，然后解不等式求出参数的范围。§3.6

控制系统的稳态误差分析1.

稳态误差的定义：给定误差：扰动误差：系统总误差：2.两种误差传函——

两种输入信号对误差信号的传函

给定误差传函Φer(s)：假定D(s)=0,R(s)

Er(s)

典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)G(s)H(s)R(s)B(s)Er(s)

扰动误差传函Φed(s)：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Ｅd(s)

典型控制系统结构图可简化为G２(s)－H(s)Ｅd(s)Ｄ(s)G１(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)“-”说明扰动信号的作用与控制信号的作用相反。系统开环传函的时间常数表达式为：定义１：静态位置误差系数定义2：静态速度误差系数定义3：静态加速度误差系数￣----为系统型别

----为0型系统

----为Ⅰ型系统

----为Ⅱ型系统

给定误差essr条件：D(s)=0，R(s)单独作用。意义：表征了系统对于各种输入信号的跟踪能力。思路：给定误差传函Φe(s)=Er(s)/R(s)→Er(s)→essr决定于开环传函和输入信号

阶跃误差:r(t)=R0·1(t)→R(s)=R0/s

斜坡误差:r(t)=Rt→R(s)=R

/s2

加速度误差:r(t)=Rt2/2→R(s)=R

/s3r(t)R·1（t）RtR·1（t）Rt0型∞∞Ｋ００Ⅰ型0∞∞Ｋ０Ⅱ型00∞∞