自动控制原理 第3版 课件 陶洪峰 04 根轨迹法

引言根轨迹分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一种图解法，主要用于分析高阶系统。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。本章重点研究的5个问题：根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、增加开环极、零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。第4章根轨迹分析法1.定义：系统的一个（一般为根轨迹增益K*，即自变量）或多个参数由零变到无穷大时，系统闭环特征根s在复平面上移动的轨迹称系统的根轨迹。根据根轨迹分析和设计系统的方法称为根轨迹分析法。2.主要内容：研究s平面上闭环特征根的位置随开环参数K*变化的规律及其与系统性能的关系。§4.1根轨迹法的概念3.方法：开环零点zi、极点pl在[s]中的分布K*=0→∞根轨迹方程根轨迹图求主导极点、分析系统性能４.根轨迹方程—

闭环特征方程一般系统的闭环传函可表示为：则，闭环特征方程即根轨迹方程为：又因为开环传函的零极点表达式为：上式可分解为：于是，根轨迹方程为：幅值方程（条件），用于计算主导极点对应的K*值相位方程（条件），用于绘制根轨迹图。k=0,1,2…K*

s1s200-2-1-1-1+j-1-j∞

-1+j∞-1+j∞起点重根点终点σ0jω××p1p2s1s2[例4.1]单位反馈系统开环传函为，试绘根轨迹图。解:n=2,p1=0,p2=-2；m=0闭环系统特征方程式：

利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。§4.2绘制根轨迹的规则规则1：根轨迹的起点和终点。

根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。规则2:根轨迹的条数和对称性。

n阶系统有n条根轨迹；根轨迹关于实轴对称。规则3:实轴上的根轨迹分布。由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就是根轨迹，否则不是。如下图所示。jωσ×

×

×

×

p4z2p3p2z1p1规则4：根轨迹的分离点和会合点d。（1）定义：根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点；由复平面进入实轴的点称为汇合点。位于相邻两极点（分离点）或两零点（汇合点）之间。（2）位置：大部分的分离点和汇合点在实轴上，若出现在复平面内时，则成对出现。（3）特点：分会点和汇合点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开或进入实轴的方向均为垂直方向。即分离角和汇合角均为90°。（4）分会点坐标计算：根据重根的条件，还必须满足：联立求解（1）（2），消去K*得分会点坐标计算公式为：注：将不在根轨迹上的s值舍去。规则5：根轨迹的渐近线定义：n-m条终止于无穷远处的根轨迹的终止方向线。条数：共有（n-m）条渐近线。与实轴交点：与实轴夹角：取n-m个值。计算：规则6：根轨迹与虚轴的交点意义：是系统的临界稳定点。特点：对应于系统闭环特征方程有纯虚根的点。求法：（1）将s=jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得K*和ω。则交点为：s=±jω。（2）根据闭环特征方程列劳斯表，令表中第一列含有K*的元素=0，解方程可得K*值；将此K*值代入该行上一行元素组成的辅助方程式，解之可得交点的s值。

解：G(s)H(s)有3条根轨迹，分别起于0，-2，-4，终止于无穷远处。m=0n=3:p1=0,p2=-2,p3=-4例4.2

系统开环传递函数为，试绘根轨迹图。（1）实轴上：（－∞，-4），（-2，0）。（2）渐进线：（3）分会点：由开环传递函数得：

A(s)=s(s+2)(s+4)=s3+6s2+8s，B(s)=1

A′(s)=3s2+12s+8，B′(s)=0

则，分会点方程为：3s2+12s+8=0s1=-3.1(不在根轨迹上，舍去)。s2=-0.9为分会点。（4）与虚轴的交点：方法1：闭环特征方程为s3+6s2+8s+K*=0

令s=jω得：-jω3-6ω2+j8ω+K*

=0即-6ω2+K*

=0-ω3+8ω=0K*

=48ω=2.8s-10jω-4-2σ×××s3s2-j2.8-0.9令48–K*

=0K*＞0K*

=48得辅助方程6s2+48=0s=±j2.8s1

j2.8π/3-π/3方法2：闭环特征方程为

s3+6s2+8s+K*=0

列劳斯表如下：s318s26K*s1

s0K*解：G(s)H(s)

有3条根轨迹，分别起于0，-1，-2，-5，终止于无穷远处。m=0n=4:p1=0,p2=-1,p3=-2，p3=-5（1）实轴上：（－∞，-1），（-2，-5）。（2）渐进线：（3）分会点：分会点方程为高阶方程不好求解，一般用试探法。按照经验规律，s1应在

p1和p2

的中点稍偏右；s2应在p3和p4

的中点稍偏左。例4.3已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。（4）与虚轴的交点：闭环特征方程为：s4+8s3+17s2+10s+K*=0注：高阶方程可以不必求解，只要按照渐近线方向绘制大致形状即可。故，该系统根轨迹图如下。-5-2-10σ××××jωs1s2s3s4注：根轨迹是圆的特例。凡是由两个极点和一个或两个零点组成的系统，只要没有零点位于极点之间，则其根轨迹在复平面内的部分是圆或圆的一部分。（证明略）零极点：渐近线：【例4.4】已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。规则7：根轨迹的出射角α和入射角β。定义：出（入）射角是根轨迹离开（进入）复极点(复零点)的切线与实轴正方向的夹角。计算公式：极点pl处的出射角αl：αl+1

=-αl

零点zl处的入射角βl：βl+1=-

βl出射角：据此绘制根轨迹图如图。零极点：渐近线：【例4.3】已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。分会点：规则8：根之和与根之积——闭环极点的性质根之和：闭环特征根之和开环极点之和常数作用：①判断特征根的变化趋势；②已知一些根求另外一些根。根轨迹图绘制规则见表4-1。根轨迹图绘制举例。例4-6，4-7。常见系统零极点分布及对应的根轨迹草图见图4-13。根之积：本节结束！【作业】4-5、4-8。§

4.3广义根轨迹（了解）

在控制系统中，通常把负反馈系统中根轨迹增益K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹，而把其他情况下的根轨迹统称为广义根轨迹。一般有参量根轨迹、零度根轨迹以及有些n＜m时系统根轨迹等。4.3.1参量根轨迹除根轨迹增益外，把开环系统的其他参数（如时间常数、反馈系数等）从零变化到无穷大或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的变化轨迹叫参量根轨迹。参量根轨迹的绘制步骤如下：

4.3.2零度根轨迹——正反馈和某些最小相位系统根轨迹

某些复杂系统中，可能会包含正反馈回路，影响系统的稳定性，必须通过整个系统的控制作用来抑制。正反馈系统结构如图所示。(1)写出原系统的特征方程：。(2)特征方程式两边除以不含该参量的各项，得系统的等效根轨迹方程：。该方程中的参量即为等效开环传函的根轨迹增益。(3)用绘制常规根轨迹原则绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。具体见P97例4-8所示。根轨迹方程为：幅值条件为：相角条件为：绘制零度根轨迹图的依据。具体绘制规则见P100。例4-9。表4-2。§4.4用根轨迹法分析系统性能一、闭环极点的位置与系统性能的关系0σjωs1×s2×θωn

如图，s1、s2为闭环系统一对共轭复数极点。二阶系统单位阶跃响应：二阶系统性能指标：可见：闭环极点的位置与系统性能的关系如下：（1）闭环极点在s左右平面的分布反映了系统的稳定性。（2）闭环极点的实部（ζωn）反映了系统的调整时间ts

和稳定程度，而且ζωn

↑（闭极点离虚轴越远）→t

s

↓→动态快速性↑，同时稳定程度越好。（3）闭环极点的虚部（ωd）表征了系统的实际振荡频率。（4）闭环极点的模（ωn）表征了系统的无阻尼振荡频率。

（5）闭环极点与负实轴的夹角（阻尼角θ）反映了系统超调量，而且θ↓（闭极点离实轴越近）

→

ζ=cosθ

↑→σ％↓→动态平稳性↑。二、已知系统的性能指标，确定闭环主导极点s*1.2和K*思路：绘根轨迹图性能指标ζ做θ=arccosζ线估读主导极点s*1.2用幅值条件计算K*s*1.2为θ线与根轨迹的交点若无零点，则分母为1。具体参见P103：例4-11。σjω0××p1p2×p3（a）增加合适的开环零点σjω0××p1p2×p3ozoz（b）增加不合适的开环零点jω0××p1p2×p3σ三、增加开环零、极点对根轨迹的影响1.增加开环零点：具体参见P104：例4-12。结论1：增加合适的开环零点，将使根轨迹向左弯曲或移动，可以改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不合适则达不到此效果。2.增加开环极点：具体参见P106：例4-13。结论2：增加开环极点，将使根轨迹向右弯曲或移动，从而使系统的稳定性和快速性变差；而且所增加极点的模值越小，这种影响越明显。根轨迹分析法的局限:

(1)无闭环零点信息