《1.3 正方形的性质与判定 第2课时》提升练

学而优·教有方20/20《1.3正方形的性质与判定第2课时》提升练1.（2021·驻马店期末）下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形A.1个B.2个C.3个D.4个2.（2020·湖州中考）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABCD'.若∠DAB=30°，则菱形ABCD′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A.1B.C.D.3.（2020·广东中考）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A.1B.C.D.24.（2021·陕西期中）如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，BD，AC应满足的条件是________.5.（2020·毕节中考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是________.6.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为________.7.如图，已知□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，若∠AED=2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形.8.（素养提升题）（2021·新乡期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）∠ADC=________°时，四边形MPND是正方形，并说明理由.解题模型发散思维模型共顶点的正方形中“手拉手”模型如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H.则（1）AG=CE；（2）AG⊥CE；（3）HD平分∠AHE.

答案解析1.D2.B3.D4.答案：AC=BD且AC⊥BD【解析】满足的条件应为：AC=BD且AC⊥BD理由：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形又∵AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH=90°，∴菱形EFGH是正方形5.答案：【解析】如图，连接CE交BD于点P，连接AP∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP=CP，∴AP+EP=CP+EP=CE，此时AP+PE最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC=4，BE=2，∠ABC=90°，∴CE=.∴AP+PE的最小值是.6.【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠ABH+∠BAH=90°又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠DAE=∠ABF.∴△ABF≌△DAE，AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=.S△ABP=AB∙AF=BF⋅AH，∴12×5=13AH，∴AH=∴AG=2AH=∵AE-BF=13∴GE=AE-AG=13-=答案：7【证明】四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO又∵△ACE是等边三角形∴EO⊥AC，即AC⊥BD，EO平分∠AEC，∴△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠CED=30°，又∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°，∴∠ADO=∠CDO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∴∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形8.【解析】【解析】（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（2）当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，