高考数学一轮复习 专题9 平面解析几何 第67练 双曲线练习（含解析）-人教高三全册数学试题

第67练双曲线[基础保分练]1．(2019·湛江调研)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B.eq\r(2)C．1D．32．若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．33．下列方程表示的双曲线的焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝14．(2016·全国Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))5．设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(15),2)D.eq\r(5)6．(2019·青岛调研)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±x D．y＝±eq\r(3)x7．(2016·山东改编)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．38．P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是eq\f(5,4)，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4B．5C．6D．79．已知方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，则m的取值范围是__________________．10．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为________．[能力提升练]1.如图所示，F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)＋1B.eq\r(3)＋1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\f(\r(3)＋1,2)2.如图所示，椭圆C1，C2与双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2与e3，e4，则e1，e2，e3，e4的大小关系是()A．e2<e1<e3<e4B．e2<e1<e4<e3C．e1<e2<e3<e4D．e1<e2<e4<e33．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a－bC.eq\f(a＋b,2)D．a＋b4．(2018·郑州质检)已知P(x，y)(其中x≠0)为双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1上任一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则△PAB的面积为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,25) D．与点P的位置有关5．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．6．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6eq\r(6))，当△APF周长最小时，该三角形的面积为__________．答案精析基础保分练1．C2.B3.C4.A5.B6.D7.B8.D9.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)10.eq\r(2)能力提升练1．B[连接AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，则|AF1|＝c，|AF2|＝eq\r(3)c，因此该双曲线的离心率e＝eq\f(|F1F2|,|AF2|－|AF1|)＝eq\f(2c,\r(3)c－c)＝eq\r(3)＋1.]2．A[设椭圆的离心率为e，则e2＝1－eq\f(b2,a2)，故由题图得0<e2<e1<1.设双曲线的离心率为e′，则e′2＝1＋eq\f(b2,a2)，故由题图得1<e3<e4，因此0<e2<e1<1<e3<e4.]3．A[如图，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a，又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.又直线PF与圆相切，∴|FT|＝eq\r(|OF|2－|OT|2)＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a.]4．C[双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程y＝2x的倾斜角为α，则tanα＝2，所以tan∠APB＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，sin∠APB＝eq\f(4,5)，|PA|·|PB|＝eq\f(|y－2x|,\r(5))·eq\f(|y＋2x|,\r(5))＝eq\f(y2－4x2,5)＝eq\f(4,5)，因此△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|PA|·|PB|·sin∠APB＝eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，故选C.]5.eq\f(2\r(3),3)解析如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2)).又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)|MA|＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).6．12eq\r(6)解析由已知得a＝1，c＝3，则F(3,0)，|AF|＝15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，即点P是线段AF1与双曲线左支的交点时，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小，即△APF周长最小，此时sin∠OAF＝eq\f(1,5)，cos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝eq\f(23,25)，即有sin∠PAF＝eq\f(4\r(6),25).由余弦定理得|P