高中二年级下学期数学《基本初等函数的导数》第一课时教学设计

重庆市教育科学研究院教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期春季课题《基本初等函数的导数》第一课时教科书教学目标1.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y=x3,y=1/x,y=√x

的导数,提升数学运算素养.2.研究了以上函数的几何意义和物理意义,逐渐养成应用数学知识解释现实问题的习惯.3.归纳基本初等函数的导数公式教学内容教学重点：根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y=x3,y=1/x,y=√x

的导数.2.函数的几何意义和物理意义.教学难点：y=x3,y=1/x,y=√x

的导数推导.教学辅助手段几何画板软件和多媒体.教学过程教学过程设计（一）回顾旧知引言：在前面的学习中，我们已经学习了导数的定义及其几何意义。大家还记得如何求函数导数的步骤吗？求y=f(x)的导数步骤是什么？求函数的变化量：；求平均变化率：；求导数：.当x=x0时，可求得2、导数的几何意义导数的几何意义：函数在处切线的斜率..设计意图：回顾旧知，为新课做铺垫.（二）新知学习 探究1;能否求得函数y=(3x+1)2ln(3x)的导数呢？对遇见复杂函数的求导是不是都按照以上求导步骤进行？那能否通过其他途径进行求导呢？（学生活动探究思考）师生互动，在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.首先我们研究六个基本初等函数的导数。设计意图：由问题引入，激发学生的学习积极性.根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.函数的导数：因为，所以，，提问1：观察图像的导数为0的几何意义是什么？函数y=c的图象上每一点处的切线的斜率都为0提问2：若表示路程关于时间的函数，则物理意义是什么？若表示路程关于时间的函数，则可以解释为物体瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.函数的函数因为所以提问3：观察图像的导数为1的几何意义是什么？函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为0提问4：若表示路程关于时间的函数，则物理意义是什么？若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.3、函数的导数因为 所以提问5：观察图像的导数为2x的几何意义是什么？表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为.函数的导数因为 所以表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.5.函数的导数因为所以探究2：函数的图象，根据图象，描述它的变化情况，并要求曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数的图象及其导数发现：当x<0时，随着x的增加，函数y=1当x>0时，随着x的增加，函数y=1所以曲线在点（1，1）处切线的斜率为-1，在点（1，1）处切线的切线方程:设计意图：利用导数解决应用问题，提升学生分析解决问题的能力.6.函数的导数因为 所以设计意图：前三个函数的求导有学生完成，后三个函数求导合作探究完成，通过求导过程进一步提升数学运算素养.探究3：观察下表，有什么发现？=2x=2x2-1学生活动，师生总结：大家有什么发现吗？我们发现y=c是常数函数，其余5个均为幂函数f(x)=x的a次幂，在取导结果中，我们发现将原函数的幂指数作为导函数的幂的系数，而导函数的幂指数相对原函数的幂指数减少了1，我们也就可归纳出幂函数的导数为a倍x的a减一次幂。设计意图：让学生经历从特殊到一般过程，培养合情推理能力，利用培养学生创造能力.探究4：在函数学习中，有哪些是基本初等函数呢？那如何进行求导呢？（老师）常数函数，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。我们通过导数定义归纳出常数函数和幂函数的导数。其他的函数也可以通过导数定义来求，但由于计算过于复杂，我们给出基本初等函数导数公式，不需要推理证明，可直接使用。课堂总结1.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y=x3,y=1/x,y=√x

的导数目标：进一步理解导数的概念，理解求函数的导数是一种借助极限的运算，从而进一步体会极限的思想。求导过程进一步提升数学运算素养.2.研究了以上函数的几何意义和物理意义.目标：将导数与导数的意义联系起来，深刻认识导数的内涵，逐渐养成应用数学知识解释现实问题的习惯.基本初等函数的导数公式设计意图：巩固新知，形成知识体系.作业布置：1.基础训练：求曲线在点（4，2）处的切线方程。2.拓广探索：请按步骤，完成下面的任务.(1)利用信息技术工具，分别画出h=1，0.5，0.1，0.05时，函数的图象.(2)画出函数y=cosx的图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？(3)大胆猜测y=sinx的导数，它与基本初等函数的导数公式中的sinx的导数公式一样