【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第十二章推理证明算法复数12.3

§12.3

几何概型根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习1.几何概型知识梳理如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为.2.几何概型中，事件A的概率的计算公式长度面积体积几何概型3.几何概型试验的两个根本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有

；(2)等可能性：每个结果的发生具有

.无限多个等可能性(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的根本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值.4.随机模拟方法判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中，每一个根本领件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的时机相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()思考辨析√√√(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(

)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(

)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝

.(

)√××

考点自测1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，那么此点坐标小于1的概率为答案解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，

答案解析∴由几何概型的概率计算公式得所求概率

3.(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是答案解析∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).4.(2017·南昌月考)一个边长为3cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，那么小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm的区域内的概率等于________.答案解析如下图，分别以正方形的四个顶点为圆心，2cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm，5.假设将一个质点随机投入如下图的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________.答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，题型分类深度剖析

题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为答案解析答案解析(3)如下图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.解答因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，那么可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.引申探究

解答2.本例(3)中，假设将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率.

解答求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).思维升华

跟踪训练1(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是答案解析如下图，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，

而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，故A∩B＝{x|2<x<3}.由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，答案解析

命题点1与平面图形面积有关的问题例2(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为答案解析题型二与面积有关的几何概型由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如下图方格中，而平方和小于1的点均在如下图的阴影中，命题点2与线性规划知识交汇命题的问题例3

答案解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠局部就是区域OACD，命题点3与定积分交汇命题的问题例4(2015·福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于________.

答案解析求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.思维升华

跟踪训练2(1)(2016·昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，那么此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是答案解析作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域.当点在△AEF区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，那么它落到阴影局部的概率为________.答案解析由题意知，所给图中两阴影局部面积相等，

题型三与体积有关的几何概型例5(1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个外表的距离均大于1，那么称其为“平安飞行”，那么蜜蜂“平安飞行”的概率为答案解析由题意知小蜜蜂的平安飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.

(2)正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC<VS—ABC的概率是当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，答案解析求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求.思维升华跟踪训练3(2016·哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S－APC的体积大于的概率是________.答案解析如图，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，那么事件M发生的区域是线段P′B.典例(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，那么∠CAM<30°的概率是________.(2)在长为1的线段上任取两点，那么这两点之间的距离小于的概率为

几何概型中的“测度”现场纠错系列16错解展示现场纠错纠错心得(1)在线段上取点，那么点在线段上等可能出现；在角内作射线，那么射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.解析

(1)∵∠C＝90°，∠CAM＝30°，答案

返回解析

(1)因为点M在直角边BC上是等可能出现的，(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，那么0≤x≤1，且0≤y≤1.答案

返回课时作业1.(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为答案解析12345678910111213故S＝16.32.A.16.32√2.(2016·昆明三中、玉溪一中统考)P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，那么黄豆落在△PBC内的概率是答案解析√12345678910111213以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，12345678910111213123456789101112133.(2016·菏泽一模)函数f(x)的局部图象如下图，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为答案解析√123456789101112134.△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，那么使△ABD为钝角三角形的概率为答案解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，那么点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，那么点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，12345678910111213√5.(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)＝sinx和余弦曲线g(x)＝cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，那么该点落在阴影区域内的概率是答案解析√12345678910111213123456789101112136.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.假设铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，假设随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，那么正好落入孔中的概率是________.答案解析123456789101112137.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，那么点P到点O的距离大于1的概率为________.答案解析12345678910111213如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影局部的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，答案解析123456789101112139.随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，那么原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为______.答案解析1234567891011121310.(2017·大连月考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如下图.假设将一个质点随机投入正方形ABCD中，那么质点落在图中阴影区域的概率是_____.答案解析1234567891011121311.向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)假设x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；

解答将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的根本领件总数为6×6＝36，由a·b＝－1得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的根本领件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，12345678910111213(2)假设x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.

解答1234