2024年浙江省杭州市萧山区钱江片中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市萧山区钱江片中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（）A．105° B．108° C．117° D．135°4．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣4 C．3×10﹣4 D．3×1075．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关6．（3分）若分式的值为0，则x的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣37．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°8．（3分）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A．小车的车流量比公车的车流量稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值 D．小车与公车车流量的变化趋势相同9．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A． B．2 C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是．12．（3分）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为．13．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，则图中两个阴影部分面积的和为．15．（3分）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．三、解答题（B小题，共75分）16．（10分）计算：（1）；（2）．17．（9分）中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下：七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92七、八年级选取的学生测试成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七年级92a94c八年级9292.5b65%【解决问题】（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可）18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC．（1）作∠BDE＝∠ABD，DE交AB于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：CD＝BE．19．（9分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（5，6）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．20．（9分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．21．（9分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．23．（10分）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2．（1）求α的值；（2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．

2024年浙江省杭州市萧山区钱江片中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【解答】解：由题意得，a＜0＜b，∴a＜b，故选：C．2．（3分）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2，1，1，故选：D．3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（）A．105° B．108° C．117° D．135°【解答】解：过点B作直线c∥a，如图所示：∴∠1+∠MBA＝180°，即∠1+∠MBD+∠ABD＝180°，∵∠1＝63°，∠ABD＝45°，∴63°+∠MBD+45°＝180°，∴∠MBD＝72°，∵直线a∥b，直线c∥a，∴直线c∥b，∴∠2+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝180°﹣∠2＝180°﹣72°＝108°．故选：B．4．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣4 C．3×10﹣4 D．3×107【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．故选：A．5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C．6．（3分）若分式的值为0，则x的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．8．（3分）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A．小车的车流量比公车的车流量稳定 B．小车的车流量的平均数较大 C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值 D．小车与公车车流量的变化趋势相同【解答】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，∴小车的车流量的平均数较大，选项B正确；而选项A，C，D都与图象不相符合，故选：B．9．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，故选：D．10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A． B．2 C． D．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若有意义，则实数a的取值范围是a≥2．【解答】解：有意义，故a﹣2≥0，解得a≥2，故答案为：a≥2．12．（3分）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为a≤﹣1．【解答】解：解不等式组，得．∵它的解集为﹣1＜x＜4，∴a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．13．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是．【解答】解：画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，∴恰好是一红一白的概率是＝，故答案为：．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，则图中两个阴影部分面积的和为5﹣π．【解答】解：如图，连接OD，OE，∵以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∵∠A＝90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD＝OE，∴四边形ADOE是正方形，∴AD＝DO＝OE＝AD，∠DOE＝90°，∵∠A＝∠OEC＝90°，∠ACB＝∠ECO，∴△ACB∽△∠ECO，∴，设AD＝DO＝OE＝AD＝r，则EC＝AC﹣AE＝6﹣r，∴，解得r＝2，∴AD＝DO＝OE＝AD＝2，∵∠DOE＝90°，∴△DOB和△EOC所包含扇形的面积之和为：，∴图中两个阴影部分面积的和为：，故答案为：5﹣π．15．（3分）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为或2．【解答】解：当CE⊥AB时，如图，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，设DM＝x，则BM＝x，DE＝x，∴AD＝x．∵AB＝2+2，∴2x+x＝2+2，解得：x＝，∴BD＝2x＝2；当CE⊥AC时，如图，∴∠ACE＝90°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝2+2，∴AD＝AC＝2+，BD＝AB﹣AD＝（2+2）﹣（2+）＝，综上，BD的长为或2．故答案为：或2．三、解答题（B小题，共75分）16．（10分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝2024﹣6+4＝2022；（2）＝•＝．17．（9分）中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下：七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92七、八年级选取的学生测试成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七年级92a94c八年级9292.5b65%【解决问题】（1）填空：a＝92.5，b＝93，c＝55%；（2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可）【解答】解：（1）将七年级抽取学生的成绩按从小到大的顺序排列，则中位数a为：＝92.5（分）；八年级抽取学生的成绩中，9（3分）的占比为：＝25%，∴众数b＝93（分）；七年级抽取学生的成绩优秀率：＝55%，故答案为：92.5；93；55%．（2）600×55%+600×65%＝720（人），答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数为720人．（3）八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些．理由如下：从七、八年级选取的学生测试成绩表中可以看出，其平均数和中位数均相等，但从优秀率角度来看，八年级学生的成绩优秀率高于七年级学生的成绩优秀率，说明八年级学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些．（答案不唯一，合理即可）18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC．（1）作∠BDE＝∠ABD，DE交AB于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：CD＝BE．【解答】（1）解：如图所示，∠BDE即为所求；（2）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD，∵∠BDE＝∠ABD，∴∠BDE＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AC﹣AD＝AB﹣AE，即CD＝BE．19．（9分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数的图象经过点A（5，6）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．【解答】解：（1）∵点A（5，6）在上，∴k＝30，∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为3，∵点M在的图象上，∴M（10，3）．（2）∵AM＝MC，A（5，6），M（10，3）∴C（15，0），∴，∴平行四边形OABC的周长为．20．（9分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．【解答】解：过点B作BE⊥MD于点E．则四边形AMEB是矩形．∴BE＝AM＝24，ME＝AB＝12米，∵AF∥MD，∴∠ACM＝α．在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴tanα＝＝2，∴＝2，∴MC＝12米，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠DBE＝，∴tan60°＝＝，∴DE＝24＝72（米），CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝72﹣（12﹣12）＝84﹣12≈84﹣12×1.7＝84﹣20.4＝64（米）．答：河流的宽度CD约为64米．21．（9分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据题意，得，解得，答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据题意，得m≥（40﹣m），解得m≥，w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，∵4＞0，∴w随着m增大而增大，当m＝14时，w取得最小值，即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×