【高考真题】2023年北京高考数学卷

【高考真题】2023年北京高考数学卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合M={x∣x+2≥0}，A．{x∣−2≤x<1} C．{x∣x≥−2} 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1，3)，则A．1+3i B．1−3i C．3．已知向量a，b满足a+A．−2 B．−1 C．0 D．14．下列函数中，在区间(0A．f(x)=−lnx B．f5．(2x−1x)A．−80 B．−40 C．40 D．806．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线A．7 B．6 C．5 D．47．在△ABC中，(a+c)(sinA−A．π6 B．π3 C．2π38．若xy≠0，则“x+y=0”是“yxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为A．102m B．112m C．117m D．125m10．已知数列{an}A．当a1=3时，{an}B．当a1=5时，{an}C．当a1=7时，{an}D．当a1=9时，{an}二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f(x)=12．已知双曲线C的焦点为(−2，0)和(213．已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命题的一组α，14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a515．设a>0，函数f(①f(x)②当a≥1时，f(③设M(x1，④设P(x3，f(x其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，PC=3（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角A−PC−B的大小．17．设函数f(（1）若f(0)（2）已知f(x)在区间[−π3，2π3]上单调递增，f(2π3条件①：f(π条件②：f(−π条件③：f(x)注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y（1）求E的方程；（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=−2交于点N．求证：MN//20．设函数f(x)=x−x3e（1）求a，（2）设函数g(x)（3）求f(21．已知数列{an}，{bn}的项数均为m(m>2)，且an（1）若a1=2，（2）若a1≥b1，且（3）证明：存在p，q，s，

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】112．【答案】x13．【答案】9π4；14．【答案】48；38415．【答案】②③16．【答案】（1）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，所以△PAB为直角三角形，又因为PB=PA2所以PB2+BC2又因为BC⊥PA，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB.（2）由（1）BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(所以AP=设平面PAC的法向量为m=(x1，令x1=1，则y1设平面PBC的法向量为n=(x2，y令x2=1，则z2所以cos⟨又因为二面角A−PC−B为锐二面角，所以二面角A−PC−B的大小为π317．【答案】（1）因为f所以f(因为|φ|<（2）因为f(所以f(x)=sin(ωx+φ)，若选条件①：因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为1，最小值为−1，所以若选条件②：因为f(x)在[−π所以T2=2π3−(−所以f(又因为f(−π3)=−1所以−π所以φ=−π6+2kπ，k∈所以ω=1，φ=−π若选条件③：因为f(x)在[−所以f(x)在x=−π3以下与条件②相同．18．【答案】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41天不变的概率最大.19．【答案】（1）依题意，得e=ca=又A，C分别为椭圆上下顶点，|AC|=4，所以2b=4，即所以a2−c2=所以椭圆E的方程为x2（2）因为椭圆E的方程为x29+因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0<m<3，易得kBC=0+2−3−0=−kPD=n−0m−3=联立y=−23x−2y=n而kPA=n−2m−0=令y=−2，则−2=n−2mx+2，解得x=又m29+n2所以k==−6又kCD=0+2显然，MN与CD不重合，所以MN//20．【答案】（1）因为f(x)因为f(x)在(1，f所以f(1)则1−13×所以a=−1，（2）由（1）得g(x)=f则g'令x2−6x+6=0，解得x=3±3，不妨设x1=3−易知e−x+1所以令g'(x)<0，解得0<x<x1或x>x2；令所以g(x)在(0，x1)，(x即g(x)的单调递减区间为(0，3−3)和(3+3（3）由（1）得f(x)由（2）知f'(x)在(0，x1)，当x<0时，f'(−1)=1−4e2所以f'(x)在(−∞，0)上存在唯一零点，不妨设为此时，当x<x3时，f'(x)<0，则f(x)单调递减；当x3所以f(x)在(−∞，当x∈(0，x1)时，则f'(x所以f'(x)在(0，x1此时，当0<x<x4时，f'(x)>0，则f(x)单调递增；当x4所以f(x)在(0，当x∈(x1，x2则f'(x所以f'(x)在(x1，此时，当x1<x<x5时，f'(x)<0，则f(x)单调递减；当所以f(x)在(x当x>x2=3+所以f'(x)=1−(3x所以f(x)在(x综上：f(x)在(−∞，0)和(x1，21．【答案】（1）由题意可知：A0当k=0时，则B0=A当k=1时，则B0<A当k=2时，则Bi≤A当k=3时，则Bi≤A综上所述：r0=0，r1=1，（2）由题意可知：rn≤m，且因为an≥1，bn所以r0又因为2ri≤ri−1可得ri+1反证：假设满足rn+1−r当i≥j时，则ri+1−ri≥2则rm又因为1≤j≤m−1，则rm假设不成立，故rn+1即数列{rn}（3）（ⅰ）若Am≥Bm，构建Sn反证，假设存在正整数K，使得SK则AK−B这与brK+1∈{1，①若存在正整数N，使得SN=A可取r=p=0，q=N，②若不存在正整数N，使得SN因为Sn∈{1，