21.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程 教学设计

21.2.1.1用直接开平方法解一元二次方程教学内容解析教学流程图地位与作用配方法是解一元二次方程中重要的一种方法，它的推导建立在直接开平方法的基础上进行的．配方法又是公式法和二次函数等知识的基础，因此学好配方法对于后继学习有重要意义．概念解析本节课的主要内容是用开平方法及配方法解一元二次方程．一元二次方程的解法通过“降次”转变为一次方程来求解，本节课根据根式的意义，通过具体的方程，如用直接开平方法解一元二次方程，再通过方程的求解，再通过的方程的怎么求解，引导学生转化为的形式，再用直接开平方求解来得出配方法的一些基本思想，最后上升到对于方程的解，怎样通过配方变成，进而求出方程的解。思想方法通过根式的意义，对方程进行直接开平方，获得解一元二次方程的方法．通过配方把方程用直接开平方的形式呈现，体现了化归思想；再利用降次实现从二次到一次的转变，体现了降次的思想；整堂课体现了从特殊到一般思想方法．知识类型配方法是关于原理与规则的知识.教学重点本节课的教学重点：会用配方法解一元二次方程.教学目标解析教学目标1.会用直接开平方法解解一元二次方程的解．2.掌握配方的基本步骤，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．3.能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性．目标解析：达成目标1的标志：会用直接开平方法解形如，的方程的解．达成目标2的标志：知道配方法的基本步骤，当二次项系数为1时，方程两边都同时加上一次项系数一半的平方，能将方程进行配方为．达成目标3的标志：根据平方根的意义，会对中的的讨论．教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了平方根的意义，如果，则，还学习了完全平方公式，这为配方法解一元二次方程提供了知识储备和研究方法．与本课目标的差距分析1.会用配方法对二次项系数为1的一元二次方程进行配方，转化为能用直接开平方的求解的形式；2.学会把一元二次方程降次为一元一次方程并求出解，是本节课要达成的目标，对学生来说怎么配方，怎么降次都是陌生的，需要有一定的化归能力．存在的问题用配方法怎么配方是个难点，对学生来说没有类似的经验，可能会出现思维障碍．应对策略针对问题1，通过用一元二次模型解决实际问题的过程，抽象出实际问题中的数量关系，再根据平方根的意义，用直接开平方的形式进行解方程；再从一个特殊到一般的推广，谈论了p的范围．针对问题2，通过形如方程的求解，再次让学生用直接开平方的方法，进行降次，使得二次变成两个一次方程；针对问题3，通过形如的方程的求解，引导学生怎么把左边的方程变成完全平方，当二次项系数为1时，先把常数项q移到方程右边，再方程两边加一次项系数一半的平方，再用直接开平方法进行解方程．教学难点本节课的教学难点：如何对一元二次方程正确进行配方．教学支持条件分析1.（认知）用PPT展示配方的过程．2.（测评）用软件统计前测情况，通过课前的测评1，更有助于了解学生的对于本课知识的已具备的能力；根据课中的测评2（用配方法解方程）达到检测配方法的理解情况；根据课后的测评3（配方过程的讨论）的检测更有助于教师确定教学目标和难度的把握．根据测评的结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点的技术推送相应的训练资源，对于已经达到的同学进行相应的拓展练习的训练．教学过程设计课前检测1．如果，那么=_________；如果（），那么=_________．2．若是一个完全平方式，则的值是（）A．2B．-2C．D．以上都不对3．若是一个完全平方式，则括号内的值是（）A．6B．-6C．±6D．以上都不对4．①；②；③设计意图：测评1：第1小题检测平方根的意义，一个数的直接开平方，以及字母的平方根的表示，为本节课学习直接开平方解方程提供方法；第2、3小题检测完全平方公式公式，为本节课的配方法奠定基础；第4小题检测学生对完全平方公式中各项系数掌握情况．平方根的意义和完全平方公式的掌握为配方法的理解铺一个台阶，又为本节课的学习做好铺垫．课堂引入问题1：一桶油漆可刷的面积1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？追问1：要油漆正方体的外表面，需要计算什么？（正方体的表面积）分析得：．整理得=25．根据平方的意义得，即．追问2：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．师生互动设计：教师以问题串形式提出问题，引发学生思考并共同完成过程．设计意图：通过解答一个完整的用一元二次方程模型解决问题的过程；抽象出实际问题中的数量关系——列一元二次方程——解方程——验证．让学生在原有平方根基础上解方程符合认知．讨论学习讨论平方根求解的情况追问1：类似地，你能求下列方程的解吗？追问2：上述方程有什么共同特点？你能归纳吗？师生互动设计：学生口答，共同归纳出一般形式的解的三种情况．（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根，（3）当，方程没有实数根．设计意图：根据平方根的意义，讨论平方根的情况，明确一元二次方程的解有两个解的情况，为探究配方法奠定基础．探究新知刚才我们利用平方根意义求出了=25的解，这种方法叫直接开平方法．问题2：你会解的方程吗？（直接开平方法）追问1：解一元二次方程能用直接开平方法的特征是怎样？（特征：左边：一边是（x+m）2，一边是数字，可以用直接开平方）追问2：直接开平方后式子有什么特征？（，两条一元一次方程）总结：用直接开平方法解一元二次方程实质是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求两个一元一次方程得出两个解．设计意图：让学生体会方程结构的特征，为后续实现化归奠定基础．解的讨论也明确解一元二次方程实质是降次为一元一次方程，再求出结果．问题3：你会解的方程吗？师生互动设计：先让学生观察，尝试自己解方程，引导学生思考．追问1：用直接开平方法可不可以？（不可以）追问2：有什么办法可以转化为用直接开平方？（把左边式子变成完全平方）追问3：完全平方需要三项，这个两项，那需要再添加谁？（左右两边都加上9，得到得到）追问4：把化为的步骤是什么？关键是哪一步？师生互动设计：学生独立思考，再合作交流，教师带领一起归纳步骤：第一步：在方程等号两边都是加上9；第二步：把方程左边写成完全平方式．追问5：为什么加上9，改为其他数字可以吗？你是怎么做的？师生互动设计：学生讨论问题，得出：要使方程左边变成完全平方，左边式子的常数项与一次项系数关系：常数项是一次项系数一半的平方．追问6：那方程是，怎么配方比较好？（先把方程中的常数16移项到右边，将方程变为再进行配方．）总结：追问7：问题4：对于一元二次方程，你会求解吗？师生互动设计：在学生充分思考讨论的基础上总结：配方时，常数项为一次项系数一半的平方．步骤：（1）将q移到方程右边，变号；（2）在方程两边加上一次项系数的一半的平方；（3）根据的取值讨论解的情况．设计意图：以问题串的形式，引导学生通过对几个方程的对比，发现之间的联系，从而找到解决问题的突破口，依据完全平方公式进行配方，再用直接开平方法降次，体会从特殊到一般，从具体到抽象．探索规律【预备例题】填空：（1）x2＋4x＋______=(x＋______)2（2）x2－8x＋______=(x－______)2（3）x2－6x＋______=(x－______)2【例题1】解方程：师生互动设计：填空学生口答完成，解方程师生再共同完成，强调每一个步骤．设计意图：通过配方的规律探索，强调当二次项系数是1时，常数项与一次项的系数有的关系．学以致用测评2：解下列方程（1）（2）（3）（4）师生互动设计：学生完成题目，再学生板演步骤，另一位学生评改，其他同学互批总结出易出错的地方．设计意图：测试2的进一步对直接开平方法进行巩固，特别（1）（3）对于平方项前面系数不为1，先化为1再用直接开平方；第（4）小题主要对配方法的理解．测评3：解下列方程（1）x2-1=2x（2）x2+2x=4x+2

（3）x2+4x=﹣5（4）x2+3x+2=0师生互动设计：学生完成题目，教师引导归纳．设计意图：通过测评3，对一元二次项系数为1的方程，各种形式项的呈现，让学生熟悉配方步骤，体会转化思想，对下一节的二次项系数不为1的方程和公式法有铺垫作用．拓展训练（对于测试都过关的学生进入拓展训练）1.用配方法说明，不论取何数，多项式的值必定大于0．2.求代数式x2+6x+11的值的最小值.师生互动设计：让学生先做，教师指导．设计意图：拓展训练有关利用配方法不但可以解方程，还可以判断多项式值都大于0，还可以求得二次三项式的最值，进一步培养学生的综合能力．课堂小结问题1：本节课主要学习了哪些内容？问题2：这些内容与我们学过的哪些内容存在联系？问题3：解一元二次方程的本质是什么？问题4：如何利用直接开平方法与配方法之间关系？设计意图：用图谱将知识系统化、条理化，体验互逆，又突出了配方法的价值，作为解方程的一种方法，解一元二次方程其实质就是降次过程，转化为一元一次方程来求解.目标检测设计一、选择题1．能用直接开平方法求解的方程是（）A．x2+3x+1=0B．x2-2x+3=0C．x2+x-1=0D．x2-4=02．解方程的解是（）A．B．C．D．3．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（）A．-2x=5B．+4x=5C