《中心对称》名师教案

1/123.2.1中心对称（李萨）一、教学目标（一）学习目标1．了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．2.探究中心对称的基本性质并应用.3．复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．（二）学习重点利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．（三）学习难点从一般旋转中导入中心对称．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质:1.中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.2.中心对称的两个图形是全等图形.预习自测（1）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成中心对称的是（）A.B.C.D.【知识点】中心对称的定义。【解题过程】观察知，A选项中的两个字母旋转180°后能完全重合，故选A.【思路点拨】旋转180°是否完全重合【答案】A.（2）下列说法正确的是（） A.全等的两个图形成中心对称 B.成中心对称的两个图形必须重合 C.成中心对称的两个图形全等 D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称【知识点】中心对称的定义【解题过程】由中心对称定义知，C选项正确，故选C.【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】C.（3）连接成中心对称的图形上两个对称点的线段，经过

，且

．【知识点】中心对称的性质【解题过程】中心对称的性质：对称中心；被对称中心平分.【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】对称中心；被对称中心平分.（4）如图，把△ABC绕边AC的中点O旋转180°到△CDA的位置，则BC=

，∠BAC=

，△ABC与△CDA关于点O成对称．【知识点】中心对称的性质.【解题过程】由中心对称的性质知：AD；∠DCA；中心.【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】AD；∠DCA；中心.（二）课堂设计1．知识回顾（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角为旋转角.（2）旋转的三要素（3）旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．2．问题探究探究一中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念重点知识★●活动=1\*GB3①回顾旧知，回忆旋转当中的相关概念△ABC经旋转得到△DEF（如图）师：旋转中心是什么？生：点O.师：旋转方向是什么？生：顺时针方向.师：旋转角是什么？生：∠AOD,∠BOE,∠COF.师：图中的对应点，对应线段，对应角分别有哪些？生：①对应点：A与D，B与E，C与F……（无数对）②对应线段：AB与DE……③对应角：A与D……【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②整合旧知，探究中心对称中的相关概念.问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．CC像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过观察来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到感性认识，思考满足中心对称关系的条件，寻求解决问题的方法.探究二中心对称的基本性质重点、难点知识★▲●活动①（大胆猜想，大胆操作，探究新知识）如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心．（2）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来。●活动②（集思广益，探索中心对称的基本性质）请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC．第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图1和图2所示．(1)(2)j从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；

分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′∴AB=A′B′同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．因此，综合以上我们得出中心对称的性质：1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．【设计意图】通过中心对称的作图，发现并证明中心对称的性质.●活动③（中心对称性质应用）1.如图，△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（） A.OC=OC'B.OA=OA' C.BC=B'C' D.∠ABC=∠A'C'B'【知识点】中心对称的性质.【解题过程】由中心对称的性质有，故选D.【思路点拨】抓住中心对称的性质.【答案】D.2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则与△AOB成中心对称的三角形是（）A.△BOCB.△CODC.△AODD.△ACD【知识点】中心对称的性质【解题过程】△AOB绕O点旋转180°即得△COD，故选B.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】B.●活动④（对比探究）中心对称是旋转的一种特殊情况，中心对称即旋转角为180°的旋转.探究三拓展应用★▲●活动①（中心对称识图）例1.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（） A. B. C. D.【知识点】中心对称的定义.【解题过程】由中心对称的定义可得A选项中的两个图形成中心对称，故选A.【思路点拨】抓住中心对称的性质是解题的关键.【答案】A.练习：在下列4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【知识点】中心对称的定义.【解题过程】由中心对称的定义可得①、②、③的左边图形与右边图形成中心对称.故选C.【思路点拨】抓住中心对称的性质是解题的关键.【答案】C.【设计意图】通过练习，进一步掌握中心对称的定义●活动2（提升型例题）例2.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A'B'C'，△A'B'C'关于OE的对称图形是△A''B''C''，则△ABC与△A''B''C''的关系是（）. A.关于∠DOE的平分线成轴对称 B.关于点O成中心对称 C.平移关系 D.不具备任何关系【知识点】轴对称和中心对称的定义.【数学思想】数形结合【解题过程】分别作出两次对称后的图形.故选B.【思路点拨】抓住轴对称和中心对称的定义.【答案】B.练习：如图所示，把一张正方形纸片对折两次，并在如图所示位置上剪去一个小正方形，打开后的图形应为（）A. B.C. D.【知识点】轴对称的定义【解题过程】动手操作两次对折，故选B.【思路点拨】抓住轴对称的定义【答案】B.【设计意图】通过练习，进一步掌握中心对称的性质●活动3（探究型例题）例3.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3cm，四边形AEFB的面积为15cm2，则CF=

，四边形EDCF的面积为

．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵四边形AEFB与四边形EDCF关于O中心对称∴CF=AE=3cm，四边形EDCF的面积=四边形AEFB的面积=15cm2.【思路点拨】抓住对角线交点为对称中心【答案】3cm,15cm2.练习：如图所示，矩形ABCD和矩形AB'C'D'关于A点中心对称，试说明四边形BDB'D'是菱形.【知识点】中心对称的性质和菱形的判定【解题过程】∵四边形ABCD和矩形AB'C'D'关于点A中心对称，AB=AB'，AD=AD'，且BB'⊥DD'.∴四边形BDB'D'为菱形（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】四边形BDB'D'是菱形.【设计意图】综合运用中心对称的性质解题●活动4（中心对称作图）例4．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．（3）顺次连结DE、EF、FD．则△DEF即为所求的三角形．【思路点拨】中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．【答案】练习：如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）连结AO并延长AO到A'，使OA'=OA，于是得到点A的对称点A'，（2）同样画出点B和点C和点D的对称点B'、C'、D'．（3）顺次连结A'B'、B'C'、C'D'、D'A'.【思路点拨】中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO、DO并延长，取与它们相等的线段即可得到．【答案】【设计意图】利用中心对称性质作图.3.课堂总结知识梳理（1）中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.②中心对称的两个图形是全等图形.重难点归纳利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．（三）课后作业基础型自主突破1.如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?【知识点】中心对称的性质【解题过程】连接两对对应点，交点即为对称中心，如下图如图，点O即为所求．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】如图，点O即为所求．2.下列说法正确的有（）①关于成中心对称的两个图形不一定全等②关于成中心对称的两个图形一定全等③两个全等的图形一定成中心对称 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【知识点】中心对称的定义【解题过程】由中心对称的定义知，①不正确，②正确，③不正确，故选B.【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】B.3.下列说法正确的是（）A.两个能够重合的图形一定关于某条直线成轴对称B.两个全等的图形一定关于某一点成中心对称C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D.两个能够完全重合的三角形一定关于某一点成中心对称【知识点】轴对称与中心对称的定义【解题过程】由中心对称的定义和性质知：两个能够重合的图形不一定关于某条直线成轴对称，A选项错；两个全等的图形不一定关于某一点成中心对称，B选项错；两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心，C选项正确；两个能够完全重合的三角形不一定关于某一点成中心对称，D选项错.故选C.【思路点拨】抓住轴对称和中心对称的定义【答案】C.4.如图所示是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB'=

．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵∠C=90°，∠B=30°，BC=1，∴AB=∴BB'=2AB=.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】.5.如图所示，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'.ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'.已知BC=4，则E'D'的长为（）A.2 B.3 C.4 D.1.5【知识点】中心对称的性质【解题过程】由题意，得E'D'=ED=BC=2，故选A.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】A6.如图所示，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形【知识点】中心对称的性质和矩形的判定【数学思想】数形结合【解题过程】∵在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，∴∴DE=AE.又∵旋转180°∴EC=AE=EF=DE，∴四边形ADCF为矩形.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】A.能力型师生共研7.现有一张小圆桌和一堆足以铺满这张小圆桌的一元硬币.甲、乙两人轮流往这张小圆桌上各放一枚一元硬币，规定任何两枚硬币都不能重叠，谁放完一枚硬币后能使得对方再无法往桌面上放硬币时，谁就是获胜者.甲对乙说：“如果你让我先放，我一定获胜.”乙说：“那可不一定，就让你先放好了.”最后甲获胜，你知道其中的原因吗?【知识点】中心对称的性质【解题过程】甲先把一个硬币放在圆桌的中心，乙放好以后，甲再放的硬币与乙放的硬币关于甲放的第一个硬币成中心对称．因为圆桌表面是中心对称图形，所以甲获胜．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】见解题过程.8.如图所示是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计—个精美图案，使其满足下列条件：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.【知识点】平移，旋转，中心对称，轴对称的定义.【解题过程】根据题意，作图如下：【思路点拨】抓住对称性【答案】不唯一，如图所示：探究型多维突破9.如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC、BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM=ON成立吗?若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵可以将△BOD和△AOC组成的图形看作是一个中心对称图形，点O是对称中心．又直线MN过点O，分别交AC、BD于点M、N，∴根据“对称中心平分连接两个对称点的线段”得OM=ON．【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】成立，理由见解题过程.10.如图所示，EF过长方形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F．已知长方形的对角线互相平分且相等，则阴影部分的面积是长方形ABCD面积的

．【知识点】矩形的性质和中心对称性【解题过程】由题意，可得△AEO≌△CFO，∴，故填【思路点拨】抓住全等三角形【答案】自助餐1.下列描述中心对称的特征语句中正确的是（）A.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B.成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，但不一定被对称中心平分D.成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，且被对称中心平分【知识点】中心对称的性质【解题过程】成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心.故A错误成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段.故B错误成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，且一定被对称中心平分.故C错误.应选D.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】D.2.将如图所示图案顺时针旋转180°，能够得到的图形是()A.B.C.D.【知识点】中心对称的定义【解题过程】将原图旋转180°可得图B，故选B.【思路点拨】抓住中心对称的定义【答案】B.3.如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，则这两个图形一定关于这一点成

对称.【知识点】中心对称的性质【解题过程】由中心对称的性质可知：应填“中心”.【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】中心.4.如图所示，△ABO与△CDO关于