2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）目录1

学习目标2

新课讲解3

课本例题4

课本练习5

题型分类讲解6随堂检测7

课后作业1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).学习目标问题

园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？情景引入设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是

ax2＋bx＋c>0(a≠0)或

ax2＋bx＋c<0(a≠0)其中a,b,c为常数，且a≠0．

1.一元二次不等式的概念

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数y=x2-12x+20间有何关系？xyo210当y＝0时，即方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．则二次函数y=x2-12x+20

的两个零点是x1＝2，x2＝10.2.二次函数的零点【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数零点就是函数对应方程的根.函数y＝x2－3x＋2的零点是________．解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.xyo210

二次函数y=x2-12x+20的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．当x＜2或x＞10时，图像在x轴上方，y＞０，即x2-12x+20>0；当2<x＜10时，y<０，即x2-12x+20<0；故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}.

求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？3.一元二次不等式的解法一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:⊿=b2-4ac二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根y=ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集⊿>0⊿=0⊿<0x1x2xyxx1(x2)yxy有两相异实根x1x2(x1<x2)x1=x2没有实数根{x|x>x2或x<x1}{x|}R{x|x2>x>x1}φφ

典例1

典例2

求解一元二次不等式的一般步骤：将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式计算Δ=b2-4ac的值.△>0方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2）

原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}原不等式的解集为{x|x≠－}原不等式的解集为R总结

课本练习2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？变形通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等式的右边为0)求根

画图画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中求解

【类题通法】解不含参一元二次不等式的步骤：

【巩固练习1】

题型二：含参一元二次不等式的解法

讨论二次项系数二次项若含有参数应讨论它是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程根的个数

写出解集确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需讨论两根的大小关系，从而确定解集形式解含参一元二次不等式的步骤：【类题通法】

【巩固练习2】

题型三：三个“二次”之间对应关系的应用三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：

【类题通法】

随堂检测2.不等式2x2－x－1>0的解集是√∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，答案:(3)

φ(4)

R.05340144302620312222>+-<++£+--<--2xxxxxxxx）（；）（；）（；）（3.解下列一元二次不等式：5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.1234解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围为(－2,2].二次函数一元二次方程的根一元