【导数在不等式证明中的应用探究5500字（论文）】

导数在不等式证明中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u31182导数在不等式证明中的应用研究 1152611引言 1256451.1选题的意义 1323691.2国内外发展状况 266502预备知识 2219702.1导数的定义 2201312.2导数的几何意义 361622.3函数的可导性与连续性 3136442.4基本初等函数的导数公式 3290543导数在不等式证明中的应用 4163753.1利用函数单调性证明不等式 4203013.2利用函数的凹凸性证明不等式 8259151求函数概念域或指定区域及二阶导数。 9314993.2.2凹凸性的定理 921743.2.3凹凸性的应用 9129083.3利用函数的最值证明不等式 11166373.3.1函数的最值与极值 1199003.3.2最值在不等式中的应用 12241124结论 1726590参考文献 17摘要：导数在许多公式中都会被运用到，不管是初等数学还是高等数学都可以根据题目的形式不同用不同的方法来解答，所以其作用十分广泛，以不等式为例，本文重点对导数的叙述方式进行讨论，并用不等式的相关知识对导数与不等式之间的关系进行证明。关键词：导数；不等式证明；泰勒公式；微分中值定理；函数性质中图分类号：1引言1.1选题的意义数学公式一般都会采用反证法、构造法、归纳法、比较法等不同的方程式来解答，以此获得相应的答案。其中大部分人也会通过函数理念去了解不等式，然后将导数作为解题工具寻找解题思路，对不等式进行转变，对其函数特点进行分析，并且导数的本质就是通过不等式和函数的关系把不等式投射到函数中，在通过等价改变之后将方程的结构特征合并在一起，并通过函数的相关操作来呈现。将导数作为证明不等式的工具是目前比较有效的方式，可以使证明不等式的过程更加简单，并且通过该方式可以更容易处理问题。所以本文主要从单调性、最小值、最大值、函数凹凸性、微分中值定理、泰勒公式等方面对证明不等式的具体方法进行分析，阐述了不同方法、不同公式的适用范围，并按照相应的解答方法对其结合实际情况进行合理的公式带入进行解题，以此获得正确的结论。1.2国内外发展状况朱小扣，鲁贤龙（2012）研究指出：世界各国为了加强国民的综合教育发展国力，都普遍实施了教育改革，并按照不同的国情对未来的国家教育发展提出了不同的政策和规划。其中数学史中微积分的出现过程被认为是“人类精神的最高胜利”，由此可见微积分对数学发展的贡献。由于微积分可以通过多种方式来解答数学问题，因此，微积分也为现代数学开辟了一个新的发展阶段，从而为变量函数的分析提供了巨大的帮助。微积分被全世界的数学界与教育界看重，因此微积分现已成为世界各地高中教育的一部分。几何、符号运算和操作、形式定义以及证明都可以在微积分的计算中运用到，甚至微积分可以将上述所讲的部分进行相互带入，从而相互造成影响，形成不同的解题思路，这也是数学探究中对微积分的不同解题方式的重要研究。蔡子华（2013）研究指出：数学函数是指使用认知结构的高级数学思维，它创建了全新的视角，并创建和扩展以前定理的发展系统。个体从早期到高级数学思维的认知状况可以假设是从外部环境的感知和行为中衍生出来的，这是通过两种平行的方式发展而来的：第一种是从视觉空间到符号形式的推测；第二种是运用操作符号从过程到概念的连续叙述，激发了基于形式目标概念和系统论证的开拓性思维。TimBozik（2015）研究指出：将初级数学的进步当做单个进步，还不如通过其他观点将其当做在相同时间内出现的各自发展：首先是视觉空间的图像表征，其次是符号操作流程的动作表征。最好将初等数学的进步视为一个单一的进步，而不是通过其他视角将其视为一个独立的、同时发展的存在。首先要将图片作为视觉空间的象征，其次是符号操作流程当做动作的象征。2预备知识2.1导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量，如果极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为在处的导数，记为或。如果记，则导数又可表示为。若极限存在，则该极限值称为在点的左导数，记作或若极限存在，则该极限值称为在点的右导数，记作或函数在点可导，且导数为的充要条件是。2.2导数的几何意义导数在几何上表示曲线在()点处的切线斜率。曲线在点的切线方程是。曲线在点的法线方程是(当时）。2.3函数的可导性与连续性若函数在点可导，则在点必连续，但是连续不一定可导。2.4基本初等函数的导数公式(1)(2)(为实数）(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)3导数在不等式证明中的应用3.1利用函数单调性证明不等式3.1.1函数的单调性函数的单调性与不等式有关，可利用导数方式证明(的几何意义对某一区间的）单调性进行证明，通过将导数和不等式结合进而判断函数单调性，如下列定义：定理1设在上连续，在内可导，（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少。3.1.2函数的单调性证明该方法使用于某区间上成立的函数不等式，一般地，证明区间上的不等式时，可以选择作为辅助函数。对求导，判断是大于或小于，判定的单调性，从而证明不等式。定理2设函数在区间上可导，则在上递增（递减）的充要条件是。例1设，证明不等式成立。证：令，显然当时，有从而在内严格递增，又在处连续，所以，当时，即设，则时，所以在内递减，又在处连续，故时，有即 由上可知，当时，有。注待验证的不等函数验证方式比较复杂，因此需要利用辅助函数对其流程进行相应的简化，以此达到简化证明的效果。3.1.3函数单调性的应用例1证明：当时，。证：令，对其求导，得又在上连续，在内，故在上严格增加。当时，，即，故有例2证明：，证：令，且，，由于在上，，从而，则在是单调递减函数，又，从而在恒成立，故有在上成立。例3证明：当时，。证：即需证，为此，构造函数，此时，，已知当时，亦即在内，因此在内单调增加，而，所以在内有，即在内单调增加，因而当时，，即不等式得证。例4证明:证明：不妨设，原不等式可变形为，令，则上式可转化为，或做辅助函数，则只需证。由于，，，因此在内递增，又，则为单调递增函数，又，得即不等式得证。例5已知函数，且。求证:。分析要证明成立，需要分两步进行；证明，然后再证明。在本题中是未知的常数，所以要将该函数当做未知数，其余函数当做常数来进行解析，以此达到求解的过程。证明因为，所以。设，则当时，当时，因此在区间内为增函数；又因为，且，所以，即。设)-(x-a)ln2，则因此在区间内为减函数；又因为b>a，所以G(b)<G(a)<0，即。综上所述，。例6已知：i，m，n是正整数，且1<i≤m<n。求证:(1+m)n>(1+n)m。分析要证(1+m)n>(1+n)m成立，只要证ln(1+m)n>ln(1+n)m成立，即要证成立。所以我们可以构造函数，然后只要证在是减函数即可。证明要证只要证只要证设函数则因为x≥2，，；所以所以在是减函数。又因为，所以，即从而通过利用函数单调性证明不等式的方法，可以得出创建辅助函数进行相应的简化，随后对该函数进行解答，以此来获得解答不等式的方式；先对两边的数值进行“求差”，随后按照“求差”值创建所需函数；先对两边的数值开展合适“求商”随后按“求商”值照创建所需函数；根据两边所需的函数以及当前等式结构，创建辅助函数以此来简化解答流程；如果不等式中含有指数函数，那么可以将指数函数转变成一个更便于计算的函数，通常使用对指数函数，然后利用上述方法根据实际情况创建所需的函数。3.2利用函数的凹凸性证明不等式3.2.1函数的凹凸性可以利用函数的凹凸性来对不等式进行证明，凹凸点也很好判断，如果曲线弧的切线点在曲线弧下方则为凹，反之亦然[12]。凹凸性判定法就是设函数在区间上连续，在区间内具备二阶导数。假如但是在任意子区间中不恒是零，那么曲线弧为凸的；假如然而在任意子区间不恒是零，那么曲线弧为凹。要全面理解凹凸性也要了解拐点有关内容。首先知道了曲线的凹凸弧分界点就是拐点，那么可以知道拐点横坐标上的左右两边邻近处是异号，而在拐点横坐标处就是零。设函数在点具备二阶导数，那么点()为曲线的拐点的必要条件为只要掌握了凹凸性以及拐点的概念，就可以对拐点与凹凸区间进行解析：1求函数概念域或指定区域及二阶导数。2求解所有的与拐点(一阶导数为0的点、二阶导数不出现但是函数有作用的点），边界点和使函数在区间内无意义的端点，将上述点标注在表中，依照二阶导数在各个区间中的正负开展评判。3.2.2凹凸性的定理若函数f(x)在开区间(a,b)上为下凸函数且可导，P(x0,y0)为其图像上一点，则函数f(x)的图像必在P点处函数切线的上方；反之，若函数f(x)在开区间(a,b)上为上凸函数且可导，则函数f(x)的图像必在P3.2.3凹凸性的应用例1证：当时，有证明设，有则函数对应的曲线在(0，)内为凸的。由于，可见，当时，即。例2证：当x时，证明令，则因此在或上的曲线弧是凹的，于是即亦即例3设，，，证明不等式证明，，由于所以，在区间或，，是凹的，于是即所以原不等式例4设，当时，证明不等式证明设由于当，对，所以，当时，是上凸的。于是有即故原不等式成立。例5设，证明:证明设，，则所以在上是向上凹的。因此即所以例6设，，，证明不等式。证明，，由于，所以，在区间或，，是凹的，于是，即所以原不等式成立。例7设当时，证明不等式证明设由于当时，对，所以，当时，是上凸的于是有，即，故原不等式成立3.3利用函数的最值证明不等式3.3.1函数的最值与极值函数的极值：设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果恒有，则称为的极大值，而称为的极大值点；如果恒有，则称为的极小值，而称为的极小值点。极值分为极大值与极小值，两者所对应的点被统称为极值点设函数在点可导，且在点取得极值，则必有极值的判别法有两种，分别是第一判别法和第二判别法。（1）极值第一判别法设函数在点的某个邻域内可导，且那么a）若当时，当时，则是的极大值。b）若当时，当时，则是的极小值。c若在的两侧，的符号相同，则不是极值。（2）极值第二判别法设函数在点处有二阶导数，且则a）当时，函数在点取得极大值；b）当时，函数在点取得极小值；了解了极值的判别法之后，我们就可以得出求极值的步骤:首先得出函数的所有极值疑点—驻点(的点)和导数不存在但是具备意义的内点；随后通过以下两种方式，对其函数进行评判：方法1：可以利用极值第一判别法来取得导函数的数值且展开因式分解，依照极值邻近的符号评判。方法2：用极值第二判别法，即如果是一个驻点，用上面点的二阶导数的正负估计。(使用方法2的前提是要注意该驻点的二阶导数不能为0，否则就要用其他方式对该数值进行评判。在出现时，一般会因为其复杂的评判方式而选择方法1进行判断。最大值与最小值的函数概念：在上连续，在内只有单独极值点，假如是的极大值点，那么就是在上的最大值点；假如为的极小值点，因此那么就是在数值上的最小数值。可以根据下列方式来得出正确的函数值：1）对该区间上的所有驻点，函数进行公式带入，随后对函数定义数值边界，最终得出相应的函数值。2）对该区间上的函数数值进行对比，将得出的函数值进行比较，进而得出该区间的最大值与最小值函数的具体数值。3.3.2最值在不等式中的应用例1证明：若，则对于内任意，有证明构造辅助函数则令得从中求得在上只有一个驻点，又因为，且当时，即在上，曲线是凹的，且在处取得极小值，且为在上的最小值。又，，从而的最大值为1。因此，例2设是大于1的常数，且证明：对于任意，有证明令则令得。因为则所以当时，取极小值，即最小值。从而当时，有即例3设且证明：证明因为连续且具有一阶导数，所以由知。又令，则。由于所以又由知，是的极小值和单调。故只有一个驻点，从而是的最小值。因此即例4求证：分析本题直接证明比较困难，如果构造函数来证明不等式也非常困难。我们可以令则原不等式可变为一个关于的一元二次不等式因此我们可构造函数证明设构造1.当时，有。2.当时，有当时，当时，所以时，有最小值。综上所述，；所以成立。例5已知当时，求证：。证明当时，所以在上递减。故在上的最大值为；函数的最小值为，所以在上的值域为。所以，当时所以，当时，例6设，当时，试证，其中等号仅当时成立。证明令且令，即是唯一驻点。又所以在时取得最大值于是当时恒有其中仅当时等号成立。故成立。其中仅当时等号成立。例7求证：时，证明要证原式，即需证：时成立。设，则因为所以所以在上是增函数，所以的最小值为所以，，时，，即时，成立。例8在上，，且在内取得最小值，证明：证明由在内取得最小值，设。因为在处可导。所以从而所以=例9证明：证明设，则令得，所以在处取得极小值。由于是唯一驻点，所以为函数的最小值。故对一切(且)，，，即例10设，求证：，其中为自然数。证明令，则令，则所以在取到(0，1)上的最大值：注意单调减少，且。于是。从而即例11证明：当，为自然数时证明令则。当时，当时，除时外，均有故在单调上升，在单调减小，因此在上取最大值。于是有==。4结论本文主要论述了导数在不等式中的应用，并对利用函数证