信道编码-线性分组码2

(2)纠错译码①最佳译码准则（最大后验概率译码MAP）通信是一个统计过程，纠、检错能力最终要反映到差错概率上。对于FEC方式，采用纠错码后的码字差错概率为pwe，p(C)：发送码字C的先验概率p(C/R)：后验概率若码字数为2k，对充分随机的消息源有p(C)=1/2k，所以最小化的pwe等价为最小化p(C’≠C│R)，又等价为最大化p(C’=C│R)；6.线性分组码的译码由贝叶斯公式：对于BSC信道：最大化后验概率p(C’=C│R)等价于最大化似然函数p(R│C)最大化的p(R│C)又等价于最小化d(R,C)，所以使差错概率最小的译码是使接收向量R与输出码字C’距离最小的译码。6.线性分组码的译码②标准阵列码矢参数发送码矢：取自于2k个码字集合{C}；接收矢量：可以是2n个n重中任一个矢量。译码方法把2n个n重矢量划分为2k个互不相交的子集，使得在每个子集中仅含一个码矢；根据码矢和子集间一一对应关系，若接收矢量Rl

落在子集Dl中，就把Rl

译为子集Dl含有的码字Cl；当接收矢量R与实际发送码矢在同一子集中时，译码就是正确的。标准阵列：是对给定的(n,k)线性码，将2n个n重划分为2k个子集的一种方法。6.线性分组码的译码标准阵列构造方法先将2k个码矢排成一行，作为标准阵列的第一行，并将全0码矢C1=(00…0)放在最左面的位置上；然后在剩下的(2n－2k)

个n重中选取一个重量最轻的n重E2放在全0码矢C1下面，再将E2分别和码矢相加，放在对应码矢下面构成阵列第二行；在第二次剩下的n重中，选取重量最轻的n重E3，放在E2下面，并将E3分别加到第一行各码矢上，得到第三行；…，继续这样做下去，直到全部n重用完为止。得到表6.2.2所示的给定(n,k)线性码的标准阵列。6.线性分组码的译码6.线性分组码的译码标准阵列的特性定理：在标准阵列的同一行中没有相同的矢量，而且2n个n重中任一个n重在阵列中出现一次且仅出现一次。

[证明]：因为阵列中任一行都是由所选出某一n重矢量分别与2k个码矢相加构成的，而2k个码矢互不相同，它们与所选矢量的和也不可能相同，所以在同一行中没有相同的矢量；在构造标准阵列时，是用完全部n重为止，因而每个n重必出现一次；接下页……6.线性分组码的译码每个n重只能出现一次。假定某一n重X出现在第l行第i列，那么X＝El+Ci，

又假设X出现在第m行第j列，那么X＝Em+Cj，l<m，因此El+Ci=Em+Cj

，移项得Em

=El+Ci+Cj

而Ci+Cj也是一个码矢，设为Cs，于是Em

=El+Cs，

这意味着Em

是第l行中的一个矢量，但Em是第m行(m>l)的第一个元素，而按阵列构造规则，后面行的第一个元素是前面行中未曾出现过的元素，这就和阵列构造规则相矛盾。6.线性分组码的译码线性码纠错极限定理：二元(n,k)线性码能纠2n－k个错误图样。这2n－k个可纠的错误图样，包括0矢量在内，即把无错的情况也看成一个可纠的错误图样。

[证明]：(n,k)线性码的标准阵列有2k列（和码矢矢量相等），2n/2k=2n－k行，且任何两列和两行都没有相同的元素。陪集：标准阵列的每一行叫做码的一个陪集。陪集首：每个陪集的第一个元素叫做陪集首。每一列包含2n－k个元素，最上面的是一个码矢，其它元素是陪集首和该码矢之和，例如第j列为接下页6.线性分组码的译码若发送码矢为Cj，信道干扰的错误图样是陪集首，则接收矢量R必在Dj

中；若错误图样不是陪集首，则接收矢量R不在Dj

中，则译成其它码字，造成错误译码；当且仅当错误图样为陪集首时，译码才是正确的。可纠正的错误图样：这2n－k个陪集首称为可纠正的错误图样。6.线性分组码的译码线性码纠错能力与监督元数目的关系：一个可纠t个错误的线性码必须满足

上式中等式成立时的线性码称为完备码。即

[证明](接下页……)纠一个错误的(n,k)线性码，必须能纠正个错误图样，因此6.线性分组码的译码对纠两个错误的(n,k)线性码，必须能纠个错误图样，所以依此类推，一个纠t个错误的(n,k)线性码必须满足对于完备码，由码的纠错能力所确定的伴随式数恰好等于可纠的错误图样数，所以完备码的(n－k)个监督码元得到了充分的利用。6.线性分组码的译码定义：(n,k)线性码的所有2n－k个伴随式，在译码过程中若都用来纠正所有小于等于个随机错误，以及部分大于t的错误图样，则这种译码方法称为完备译码。限定距离译码：任一个(n,k)线性码，能纠正个随机错误，如果在译码时仅纠正t’<t个错误，而当错误个数大于t’时，译码器不进行纠错而仅指出发生了错误，称这种方法为限定距离译码。6.线性分组码的译码从多维矢量空间的角度看完备码：假定围绕每一个码字Ci

放置一个半径为t

的球，每个球内包含了与该码字汉明距离小于等于t的所有接收码字R的集合；这样，在半径为t=[(dmin－1)/2]的球内的接收码字数是因为有2k个可能发送的码字，也就有2k个不相重叠的半径为t的球。包含在2k个球中的码字总数不会超过2n个可能的接收码字。于是一个纠t个差错的码必然满足不等式如果上式中等号成立，表示所有的接收码字都落在2k个球内，而球外没有一个码，这就是完备码。6.线性分组码的译码完备码特性：围绕2k个码字，汉明距离为t=[(dmin－1)/2]的所有球都是不相交的，每一个接收码字都落在这些球中之一，因此接收码与发送码的距离至多为t，这时所有重量≤t的错误图样都能用最佳（最小距离）译码器得到纠正，而所有重量≥t+1的错误图样都不能纠正。6.线性分组码的译码举例：对纠一个错误的(7,4)汉明码，可见，(7,4)汉明码是一个完备码。所有汉明码都是完备码（满足2n－k=2m=n+1）。标准阵列译码=最小距离译码法=最佳译码法陪集首是可纠正的错误图样，为了使译码错误概率最小，应选取出现概率最大的错误图样作陪集首；重量较轻的错误图样出现概率较大，所以在构造标准阵列时是选取重量最轻的n重作陪集首；这样，当错误图样为陪集首时（可纠的错误图样），接收矢量与原发送码矢间的距离（等于陪集首）最小；(续下页……)6.线性分组码的译码因此，选择重量最轻的元素作陪集首，按标准阵列译码就是按最小距离译码；所以标准阵列译码法也是最佳译码法。定理：在标准阵列中，一个陪集的所有2k个n重有相同的伴随式，不同的陪集伴随式互不相同。

[证明]：设H为给定(n,k)线性码的监督矩阵，在陪集首为El的陪集中的任意矢量R为R=El+Ci,i=1,2,…,2k其伴随式为S=RHT=(El+Ci)HT=ElHT+CiHT

=ElHT上式表明：陪集中任意矢量的伴随式等于陪集首的伴随式。即同一陪集中所有伴随式相同。不同陪集中，由于陪集首不同所以伴随式不同。6.线性分组码的译码③结论任意n重的伴随式决定于它在标准阵列中所在陪集的陪集首。标准阵列的陪集首和伴随式是一一对应的，因而码的可纠错误图样和伴随式是一一对应的，应用此对应关系可以构成比标准阵列简单得多的译码表，从而得到(n,k)线性码的一般译码步骤。(n,k)线性码的一般译码步骤计算接收矢量R的伴随式ST=HRT

；根据伴随式和错误图样一一对应的关系，利用伴随式译码表，由伴随式译出R的错误图样E；将接收字减错误图样，得发送码矢的估值C’=R－E

。上述译码法称为伴随式译码法或查表译码法。6.线性分组码的译码线性分组码一般译码器译码器如图6.2.9。这种查表译码法具有最小的译码延迟和最小的译码错误概率，原则上可用于任何(n,k)线性码。6.线性分组码的译码汉明码是汉明于1950年提出的纠一个错误的线性码，也是第一个纠错码。由于它编码简单，因而是在通信系统和数据存储系统中得到广泛应用的一类线性码。汉明码的结构参数：纠一个错误的线性码，其最小距离dmin=3；监督矩阵任意两列线性无关/H的任两列互不相同；没有全0的列。监督元个数n－k=r；H阵中每列有r个元素，至多可构成2r－1种互不相同的非0列。对于任意正整数m≥3，汉明码的结构参数为码长：n=2m－1信息位数：k=2m－m－1监督位数：n－k=m码的最小距离：dmin=3(t=1)8.汉明码汉明码监督矩阵构成的两种方式构成H阵的标准形式，H=[QIm]，其中Im

为m阶单位子阵，子阵Q是构造Im

后剩下的列任意排列。用这种形式的H阵编出的汉明码是系统码。按m重表示的二进制顺序排列。按这种形式H阵编出的码是非系统码。当发生可纠的单个错误时，伴随式为H阵中对应的列，所以伴随式的二进制数值就是错误位置号，有时这种码译码比较方便。由于汉明码可纠的错误图样数为8.汉明码(1)扩展/Extending和打孔/Puncturing(2)增广/Augmenting和删信/Expunging/Expurgating(3)延长/Lengthening和缩短/Sportening(4)乘积/Product(5)级联/Concatenating(6)交织/Interleauing9.由已知码构造新码的方法(1)扩展/Extending和打孔/Puncturing扩展：保持码字数k不变，增加冗余位数以增加码长。打孔：保持k不变，减小冗余位。可以认为是扩展的逆过程。(2)增广/Augmenting和删信/Expunging/Expurgating增广：保持n不变，增加码字数目k。删信：保持n不变减小k。(3)延长/Lengthening和缩短/Sportening延长：同时增加k和n。缩短：同时减小k和n。9.由已知码构造新码的方法举例：(7,4,3)汉明码的各种修正关系如图6.