专题9立体几何初步测试题

专题9立体几何初步测试题命题报告:高频考点:三视图的认识,几何体的表面积和体积的求解。考情分析:高考主要以选择题填空题形式出现,每年必考,重点考查三视图和表面积、体积的综合,与球有关的外接和内切问题。3.重点推荐:基础卷16题,涉及数学文化题的应用,是近几年热点问题；一．选择题1.所有棱长都为1的正四棱锥的体积是（）A、B、C、D、【答案】:C【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形,所以高为,正四棱锥的底面积为1,所以体积为,故选C.2.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为()【答案】B【解析】先根据正视图和俯视图还原出几何体,再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①,故其侧视图为图②.3.（2018•黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥,得到如图（2）所示的几何体,则该几何体的侧视图为（）A． B． C． D．【答案】:B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90π B.63π C.42π D.36π答案B解析法一(割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得,如图所示.将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的eq\f(1,2),所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.法二(估值法)由题意知,eq\f(1,2)V圆柱<V几何体<V圆柱,又V圆柱＝π×32×10＝90π,∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.5.在棱长为a的正方体中,P、Q是体对角线上的动点,且,则三棱锥P-BDQ的体积为（）A、B、C、D、【答案】:A【解析】特殊化处理,让点Q与C重合,则三棱锥P-BDC的体积为所求,因为,由三角形的相似比可得P到底面BCD的距离为,所以,故选A.6.（2018•烟台一模）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为的正三角形,PA,PB,PC两两垂直,则球O的体积为（）A． B． C．3π D．4【答案】:A7.长方体的体积为V,P是的中点,Q是AB上的动点,则四面体P-CDQ的体积是（）A、B、C、D、【答案】:D【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,,则有V=abc,由题意知,所以8.（2018•三明二模）如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则以下四个命题中错误的是（）A．直线A1C1与AD1为异面直线 B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥AC D．三棱锥D1﹣ADC的体积为【答案】:D【解析】由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,知:在A中,直线A1C1⊂平面A1B1C1D1,BD1⊂平面A1B1C1D1,D1∉直线A1C1,由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线,故A正确；在B中,∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1,故B正确；在C中,∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC⊥DD1,∵BD∩DD1,∴AC⊥面BDD1,∴BD1⊥AC,故C正确；在D中,三棱锥D1﹣ADC的体积:==,故D错误．故选:D．9.如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）,球O是该正八面体的内切球,则球O的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A；【解析】:由题意,该八面体的棱长为2,设球O的半径为r,=,解得r=,所以球O的表面积为:4=．故选:A．10.（2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱AD中点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5 B．2 C．2 D．6【答案】.C11.如图,若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．四边形EFGH可能为梯形【答案】D；【解析】:若FG不平行于EH,则FG与EH相交,交点必然在B1C1上,与EH∥B1C1矛盾,所以FG∥EH,故A正确；由EH⊥平面A1ABB1,得到EH⊥EF,可以得到四边形EFGH为矩形,故B正确；将Ω从正面看过去,就知道是一个五棱柱,故C正确；因为EFGH截去几何体EFGHB1C1后,EHB1C1CF,所以四边形EFGH不可能为梯形,故D错误．故选:D．12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何？”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少？”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为（）A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺【答案】:A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,则三棱柱的体积V1=×3×2×2=6,四棱锥的体积V2=×1×3×2=2,由三视图可知两个四棱锥大小相等,∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选:A．二．填空题13.正△AOB的边长为a,建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是________.答案eq\f(\r(6),16)a2解析画出坐标系x′O′y′,作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′为O′A′的中点.易知D′B′＝eq\f(1,2)DB(D为OA的中点),∴S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)S△OAB＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.14.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为．【答案】.eq\f(1,3)【解析】由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形,边长为1和eq\r(2),四棱锥的高为eq\f(1,2)A1C1=eq\f(eq\r(2),2),则四棱锥A1-BB1D1D的体积为eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(eq\r(2),2)=eq\f(1,3)．故答案为eq\f(1,3)．15.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC＝45°,AB＝AD＝1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.答案2＋eq\f(\r(2),2)解析如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.在Rt△ABE中,AB＝1,∠ABE＝45°,∴BE＝eq\f(\r(2),2).又四边形AECD为矩形,AD＝EC＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此还原为原图形如图2所示,是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中,A′D′＝1,B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1,A′B′＝2.∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马（底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积是_______。【答案】50π 【解析】:由题意知,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,四棱锥C1﹣ABB1A1的外接球即为直三棱柱的外接球,以AB、BC、BB1为共顶点,画出长方体,如图所示,则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；∴所求的外接球的直径为体对角线2R=AC1==,∴外接球的表面积是S=4πR2=π•（2R）2=50π．三．解答题17.已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2,4,4,试求此线段的长度。【解析】:如图想象出线段所在的空间几何体是长方体,可得其正视图、俯视图、侧视图分别为,…………3分设长方体三条棱长分别为a,b,c,则有,,,从而得＝…………10分18.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB＝6m,PO1＝2m,则仓库的容积是多少？【解析】由PO1＝2m,知O1O＝4PO1＝8m.因为A1B1＝AB＝6m,所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；…………4分正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3),所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).故仓库的容积是312m3.…………12分19.如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E＝D1F＝4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.…………5分(2)如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM＝A1E＝4,EB1＝12,EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6,AH＝10,HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56,S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).…………12分20.在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2,且点O为AC中点.(1)证明:A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1－ABC的体积.(1)证明因为AA1＝A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC,…………3分又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC＝AC,且A1O⊂平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC.…………6分(2)解∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3),∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.…………12分21.如图所示,在三棱锥P－ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC＝eq\f(π,2),AB＝2,AC＝2eq\r(3),PA＝2.求:(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3),三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).…………5分(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在△ADE中,DE＝2,AE＝eq\r(2),AD＝2,cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).…………12分22．（2018•海淀区二模）如图,已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为的A