《电工与电子技术》 课件 第3章 电路的暂态分析

第3

章电路的暂态分析3.1换路定则与初始值的确定3.2一阶电路的零输入响应3.3一阶电路的零状态响应3.4一阶电路的全响应和三要素法电路的暂态分析本章学习一阶电路的暂态过程的概念及分析方法，包括暂态和稳态，换路即换路定则。暂态过程初始值和稳态值的。零输入响应、零状态响应和全响应的求解方法。熟悉运用三要素法求解一阶电路的暂态过程。理解电压和电流随时间变化的曲线。第3

章

电路的暂态分析3.1换路定则与初始值的确定

概述

通过两个电路，说明什么是电路的稳态和暂态？

【例3-1】图3-1a所示电路，S闭合前，UR=0，称为稳态。设t1时刻S闭合（称为换路），

电阻电压UR“突变”为US，进入新的稳态。如图3-1b所示。即：电阻上电压和电流都可以“突变”。

【例3-2】图3-2b所示阻容电路，S闭合前，UC=0，为稳态。设t1时刻S闭合（换路），UC

从0到US

有一个过渡过程，称为暂态，经过一段时间，最终达到新的稳态。图3-2b所示为虚拟示波器显示的变化曲线。即：电容上电压不能“突变”。

t稳态URt1US图3-1例3-1电路与电压波形a）电路b）电阻电压波形

SR+US-+UR-a）b）SR+US-+UC-a）b）图3-2

例3-2电路与电压变化曲线a）电路b）电容电压变化曲线

通过实验可以证明，电感中电流也不能突变。突变稳态IUCtt1稳态稳态暂态I第3

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电路的暂态分析

3.1换路定则与初始值的确定3.1.1换路定则1.从两个例题可以得出以下结论：电路状态分为稳定状态（简称稳态）和暂时状态（简称暂态）。从一个稳态到另一个稳态的过渡过程称为暂态过程。产生暂态过程的必要条件是

电路中含有储能元件

（内因），即电容和电感，纯电阻电路不会产生暂态过程。

电路发生换路

（外因），换路包括电路中开关的通/断、接线的改变、参数及电源的突然变化等。能量角度的分析

电容和电感的储能分别为所谓换路，即电路中的能量发生变化，但能量不能跃变，否则将使功率达到无穷大，实际不可能。所以，电容的储能不能突变，即电容上电压（uC）不能突变；电感的储能不能突变，即电感上电流（iL）不能突变。结论：电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变产生的。第3

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电路的暂态分析

3.1换路定则与初始值的确定3.1.2初始值的确定

换路瞬间电路各元件电压、电流变化规律为：

电容的电压不能突变、电容中电流可以突变。电感的电流不能突变、电感电压可以突变。电阻的电流、电压均可以突变。利用上述规律，再依据基尔霍夫定律就可以确定电路换路瞬间的初始值。【例3-3】图3-3所示电路中，已知开关

S闭合前电容电压为零，在

t=0时

S闭合，求各电流、电压初始值。解：先由

t=0

–的电路求出uC

(

0–)，再根据换路定理确定出uC(0+)，进而求其它电量的初始值。因为开关S闭合前uC

(

0–)为零，则由换路定则可得

从而可得各个电量初始值为SR1+US-+uC-R2C+u2-+u1-iCi2i1图3-3

例3-3电路

第3

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电路的暂态分析

3.1换路定则与初始值的确定【例3-4】图

3-4a所示电路中，已知：t=0时刻S断开，求各电流、电压初始值。解：换路（S断开）前的稳态为，电容开路、电感短路，则等效电路为图3-4b

所示。其参数为：换路后瞬间（S断开瞬间），等效电路为图3-4c

所示，根据换路定则：根据基尔霍夫电压定律（KVL）,含L、C

回路的电压方程为图3-4

例3-4

电路a）电路b）换路前状态c）换路后瞬间状态

SR1+U-+uC-R2C+u1-iCiR3L+uL-iLa）R1+U-+uC=50V-R2+u1-iCiR3+uL=0V-iL=0.5Ab）+U-R1+50V-R2C+u1-iCiR3L+uL-0.5Ac）第3

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电路的暂态分析

3.1换路定则与初始值的确定解：这是一个通过测量RL串联电路两端电压和所通过的电流，确认其参数的测量方法。但操作不当，存在危险隐患，按照以下三种情况分析。（2）若先断开

S2，再断开S1

：

先断开S2再断开S1，电流将在

S1处被瞬间截断，电源绕组上会产生很高的感应电动势，在S1断开处形成电弧，易损坏开关电器、破坏线圈绝缘，对人身安全也有威胁。

（3）如果在线圈两端反向并联一个二极管

（VD），其功能是单向导通，方向如图示电流

方向。

在

S1闭合时，二极管承受反向电压处于截止状态不影响电路正常工作；在S1断开时，电流

iL

通过二极管

VD续流逐渐衰减到零，将电感储存的能量耗尽。所以，该二极管称为续流二极管，常用在有电感的直流电路中起到保护作用。

【例3-5】图

3-5a所示

RL串联测量电路中，已知：L=15H、R=5Ω，电压表的量程为50V，内阻RV=5kΩ，电流表

的内阻忽略不计。电流表显示为5A，电压表显示为40V。VA（1）先断开

S1瞬间：图3-5

例3-5电路S1R3LiLVAS2+

US-+

U-产生电弧先断开S2再断开S1电压表瞬间高压先断开S1VD续流二极管iL通过VD释放第3

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电路的暂态分析3.2一阶电路的零输入响应

图中只有一个储能元件（C），称为一阶线性电路，简称一阶电路。换路后没有电源，仅由储能元件的原始储能引起电路响应，称为零输入响应。

根据激励（电源电压或电流），求解电路的响应（电压和电流）。3.2.1RC串联电路的零输入响应图3-6

RC电路的零输入响应a）RC串联电路b）换路前状态c）换路后状态

通过图3-6a所示RC串联电路了解以下概念：换路前，S→1，电源向电容充满电，电路处于第一个稳态，见图3-6b所示。t=0时，S→2，换路开始。电容C

经过电阻R放电，电路处于暂态，这个过程中电源已除去，只有电容上电压放电引起电路中参数变化，即零输入响应，见图3-6c

所示。（1）求uC

，根据KVL：SR+U-+uC-C+uR-iC12a）SR+uC=U-C+uR-iC2电容放电c）SR+U-+uC=U-C+uR-iC1b）电容充电电压指数下降终值为零第3

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电路的暂态分析3.2一阶电路的零输入响应

（2）求解电流及电阻电压的变化规律（3）零输入响应uC

、iC

、uR

的变化曲线如图

3-7所示。（4）时间常数τ

时间常数的大小决定暂态过程变化的快慢，见图3-8所示。（5）暂态时间

从uC的表达式分析：

在零输入响应中，τ

表示电容电压uC

从初始值

下降到稳态值的

36.8%

所需的时间。理论上，暂态过程需经过t=∞才能达到稳态。但实际经过

（3~5）

后

uC

已经接近零，达到稳态值，放电基本结束。即

t=5

时，暂态过程基本结束。

tτ1uCτ2τ3图3-8

暂态过程与时间常数的关系

图3-7

电压、电流变化曲线a）电压电流变化曲线b）电容电压在示波器的显示

tuCuRiCa）tuC稳态稳态暂态b）电流指数变化终值为零第3

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电路的暂态分析3.2一阶电路的零输入响应

【例3-6】图

3-9a所示电路中，虚线内为实际电容器的电路模型，与电容

C并联的

R为电容器内介质损耗的等效电阻。

已知：R1=100Ω，U=220V，C=10µF，R=100MΩ，开关断开前电路已达稳态。求

S

断开后的时间常数和t

=τ、t=5τ

时电容器电压。

解：

（1）求时间常数

S断开后，时间常数只与RC有关，见图3-9b，即

（2）求电容器电压

S断开前，电容的初始电压为U在R1和R的分压，即：uC变化曲线见图3-9c所示。电容放电图3-9

例3-6电路及电容电压变化曲线a）换路前电路b）换路后电路c）电容电压变化曲线

SR+U-+uC-CiR1a）R+uC-Cib）tuC/V22080.961.54

0τ2τc）电压指数下降终值为零第3

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电路的暂态分析3.2一阶电路的零输入响应

3.2.2RL串联电路的零输入响应图3-10a所示RL串联电路，图中只有一个储能元件（电感）。开关（S）

闭合前，电路已稳定，根据分流公式，可以求出电感中电流：换路（S闭合）后（图3-10b），电感中电流不能突变，所以根据KVL其中：时间常数为各电流、电压变化曲线见图3-10c

所示R+uR-SISRSLiL+uL-a）R+uR-SLiL+uL-b）图3-10

RL电路的零输入响应a）换路前电路b）换路后电路c）电流电压变化曲线

tIL0IL0RO-IL0RuRiLuLc）电流指数下降终值为零电压指数变化终值为零第3

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电路的暂态分析3.2一阶电路的零输入响应

【例3-7】图3-11中虚线框内为实际励磁线圈的电路模型，其中电阻R=80Ω，电感

L=10H，接于

220V电源上。调节电阻RP=30Ω，S闭合时电路为稳态。（2）S断开后经多长时间线圈放出所储能量的95%？

（1）

S断开瞬间，泄放电阻

选何值时线圈两端的电压不大于500V。

解：S断开前，电路为稳态，电感电流为S断开时，电感的初始能量为消耗W1=95%*20J=19J，剩余W2=5%*20J=1J对应的电流：时间常数为：S图3-11

例3-7

电路第3

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电路的暂态分析3.3一阶电路的零状态响应

换路前储能元件初始储能为零，在外接电源的激励下，电路中各电流、电压产生的响应称为零状态响应。

图3-12a所示电路中，电容的初始能量为零，换路后，仅由电源激励所产生的电路的响应，即电容的充电过程。电容电压的初始值（初值）和稳态值（t=∞时的值、即终值）分别为

3.3.1RC串联电路的零状态响应

电容的初始能量为零，换路后，仅由电源激励所产生的电路的响应，即电容的充电过程。S闭合后瞬间（换路后，如图3-12b所示），回路中各电流、电压为

电容电压和电流的变化规律如下（推导略）,其变化曲线见图3-12c所示。uCiCSR+U-Ca）SR+U-+uC-C+uR-iCb）t

UU/Rc）图3-12

RC串联电路的零状态响应a）换路前电路b）换路后电路c）电流电压变化曲线

电压指数增加终值为U电流指数下降终值为零第3

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电路的暂态分析3.3一阶电路的零状态响应

【例3-8】如图3-12所示电路中，已知

U=100V，R=10kΩ，C=6µF，开关闭合前，电容未曾充电。在

t=0时，开关S闭合。（1）分析时间常数

的物理意义（2）S闭合后产生充电电流，其最大值为

在零状态响应中，τ

表示电容电压uC

从初始值

0上升到稳态值的

63.2%

时所需的时间，见图3-13所示。（3）开关闭合后，时间常数为根据uC的表达式，uC达到80V所需的时间为t10063.2τ

uC/V8096.6ms图3-13

例3-8电路的电容电压变化曲线电容电压变化曲线见图3-13所示。第3

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电路的暂态分析3.3一阶电路的零状态响应

【例3-9】如图3-14a所示电路中，U=10V，R=100kΩ，C=10µF，初始uC=0,t=0时，S→1；t=1s时，S→2，画出

t

在0~2s内uC的变化曲线。

解：

（1）t=0时，S→1，为零状态响应，见图3-14b所示。（2）t=1时，S→2，为零输入响应，见图3-14c

所示。SR+U-+uC-CiC12a）图3-14

例3-4电路及电压变化曲线a）电路b）零状态响应c）零输入响应d）电容电压变化曲线

t/s6.321

uC/V02零状态响应电容器充电零输入响应电容器放电d）R+U-+uC-CiC电容器充电

b）R+uC-CiC电容器放电c）电容电压变化曲线见图3-14d所示。第3

章

电路的暂态分析3.3一阶电路的零状态响应

3.3.2RL串联电路的零状态响应RL串联电路的零状态响应示意图如图3-15a所示。储能元件电感的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应，即电感的充磁过程。

开关闭合（换路）后，电感电流不能突变，其初始值和稳态值分别为

各电流和电压的表达式为电流指数增加终值为U/RiLuL电压指数下降终值为零图3-15

RL串联

电路的零状态响应a）电路b）电压与电流变化曲线

R-

uR+SLiL+uL-

+U

-a）tU/RUb）电流和电压变化曲线如图3-15b所示第3

章

电路的暂态分析3.3一阶电路的零状态响应

【例3-10】

如图3-16a所示电路中，已知U=20V，L=0.01H，R1=R2=20Ω，R3=10Ω。开关闭合前电路处于零状态，即

iL(0-)=0。求开关闭合后电感中的电流。

解：首先将虚线框内化简为戴维南等效电路，如图3-16b所示。其中

时间常数和电感电流为：R1SLiL+uL-

+U

-R2R3a）20ΩLiL+uL-

+10V

-b）图3-16

例3-10电路及电流、电压变化曲线a）电路b）戴维南等效电路c）电压电流变化曲线

t0.5A

10Vc）电流和电压的变化曲线如图3-16c所示。iLuL第3

章

电路的暂态分析3.4一阶电路的全响应和三要素法电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，称为电路中的全响应。图3-17所示电路，t=t1

时S

接到1端，零状态响应，uC充电至U1，即当t=t2

时S

接到2端，uC已充电至U1，回路中还有电源U2，即：称为全响应，根据叠加原理，全响应=零输入响应+零状态响应，即：上式为RC串联电路暂态响应的微分方程解表达式，写出一般表达式为其中的三要素为SR+

U1-+uC-C+uR-iC12+U2

-图3-17

全响应根据三个要素写出电路的响应（电压或电流），称为三要素法。第3

章

电路的暂态分析3.4一阶电路的全响应和三要素法

【例3-11】图3-17电路中，U1=10V，U2=20V，

RC=1s，t=0时，S→1；t=5s时，S→2，求响应。

t=0s时，S

接到1

端，为零状态响应uC（0+）=0V、uC（∞）=10V根据三要素法

t=5s时，S

接到2端，为全响应uC（0+）=10V、uC（∞）=20V根据三要素法全响应10零状态响应t/s20uC/V05图3-18

例3-11电容电压变化曲线电容电压变化曲线见图3-18所示。第3

章

电路的暂态分析3.4一阶电路的全响应和三要素法

三要素法的应用范围

所有一阶电路（包括零状态响应、零输入响应、全响应）的暂态响应都可以应用三要素法求解，在求得初始值、稳态值和时间常数

的基础上，可直接写出电路的响应（电压或电流）。三要素法的几点规律

三要素法求解暂态过程的要点（1）

确定三要素，即初始值、稳态值和时间常数（2）将三要素代入暂态过程通用表达式（3）画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。图3-17

各种响应及变化曲线a）零输入响应b）全响应（f（0+）>f（∞））c）零状态响应d）全响应（f（0+）<f（∞））

tff(∞)a）f(0+)tff(∞)b）tff(∞)c）tff(∞)f(0+)d）第3

章

电路的暂态分析3.4一阶电路的全响应和三要素法

【例3-12】在图3-17所示电路中，开关S原断开，电容

C存在初始储能

uC（0-）=2V，U=12V，R1=R2=10kΩ，C=1000pF，在

t=0时开关

S闭合，用三要素法求电容电压

和电流。解:1.求初始值

2.求稳态值（终值）3.求时间常数4.求电容电压

uC

和电流iC

电容电压

uC

和电流i