2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第2节方程（组）与不等式（组）（含答案）

第2讲方程（组）与不等式（组）（学生版）目标层级图 课前检测1.（武侯区校级期末）时，方程组的解和都是整数为整数）．2.关于的不等式组有四个整数解，求实数的取值范围．3.直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为．课中讲解一.二元一次方程（组）例1.解方程（组①②③④例2.（青羊区校级月考）已知关于、二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解是．例3.已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围_________.例4.如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是__________例5.已知（xyz≠0），则＝．过关检测1.（锦江区校级月考）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为．2.已知方程组的解为非负数，化简．3.如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+4在第二象限交于A，y＝x+4交x轴，y轴分别于B、C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解___________二.一元一次不等式（组）不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．不等式的解集口诀：同大取大、同小取小、一大一小取中间（有交集有解，无交集无解）易错点：1是否变号2是否取等例1.（1）若，则下列式子不成立的是A． B． C． D．（2）若，则下列式子成立的是A．B．C．D．例2.解下列不等式（1）（2）（3）（4）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．例3.（1）不等式的解的情况讨论.（2），例4.已知不等式组的解集为，求的值．例5.已知关于的不等式组的整数解有且只有2个，则的取值范围是．例6.关于的不等式组无解，那么的取值范围是．例7.使得关于x的不等式组有解，且使得关于y的方程1+（m﹣y）＝2（y﹣2）有非负整数解的所有的整数m的值__________________例8.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是．（2）如果，满足条件的所有正整数y有．过关检测1.已知一元一次不等式，若它的解集是，求的取值范围______.2.关于的一元一次不等式组有解，直线不经过第象限．3.（金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有5个整数解，则实数P的取值范围是．4.记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝，R（）＝；（2）若R（x﹣1）＝3，则x的取值范围是．（3）R（）＝4，则x的取值范围是．三．应用题型号AB成本（万元/台）200240售价（万元/台）2503001.某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）

过关检测成本（万元辆）612售价（万元辆）9161.（成都校级期中）某汽车销售公司计划销售、两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设型汽车购进辆，该销售、两种汽车获得利润（万元），两种汽车的成本和售价如表：（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出关于的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆型汽车售价不会改变，每辆型汽车的售价将会提高万元，且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润售价成本）

学习任务1.已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围__________.2.若关于，的方程组有非负数整数解，求正整数．3.有9张卡片，分别写有1，2，3，，9这九个数字，将他们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为，则关于的不等式组有解的概率为．4.若关于，的方程组的解满足，则的最小整数解为A． B． C． D．05.若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是．6.某高科技公司根据市场需求，计划生产、两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：、两种型号的医疗器械共生产80台．信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．信息三：、两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号成本（万元台）2025售价（万元台）2430根据上述信息．解答下列问题：（1）该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）根据市场调查，每台型医疗器械的售价将会提高万元．每台型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润售价成本）第2讲方程组与不等式（解析版）1本节内容，主要分为两部分，方程组和不等式。方程组定位复习，不等式定位新课，学生水平在120分以上。2方程组部分，主要涉及计算、换元法计算技巧、含参数的解的情况讨论以及方程组与一次函数的关系。特别需要关注和重点说明方程组和一次函数直线交点到底是什么关系，如何转化和使用及识别。可强调：为什么两直线的交点，就是对应方程组的解。解的讨论转化为直线交点问题的讨论（二元一次方程组，写成一次函数形式“y=kx+b”形式，解的问题，就变成了两个直线的问题。平行则无解、相交则唯一解、重合则无数解）3不等式部分，主要从实际操作和必考题型、易错点发，基础的解不等式、解集的表示涉及的比较少。这部分整体易错，易错于两点1是否变号2要不要取等。这两个细节需要每个题型中去强调和反复。4题型上面，不等式变号参数判断，解的讨论、整数解等含参问题，是最常考题型，一定特别关注。课前检测1.（武侯区校级期末）7或9或6或10时，方程组的解和都是整数为整数）．【解答】解：解方程组得：，当是整数时，或，解得：或9或6或10．当时，；当时，；当时，；当时，．故或9或6或10．故答案是：7或9或6或10．2.关于的不等式组有四个整数解，求实数的取值范围．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组有四个整数解，四个整数解为、、0、1，则，解得：．3.直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为，．【解答】解：直线与的交点的横坐标为，关于的不等式的解集为，时，，的解集是，的解集是课中讲解方程组用于熟悉回忆解法，灵活使用例1.解方程（组①②③④【解答】解：①方程组整理得：，移项合并得：，解得：；；②，③①得：④，②④得：，即，把代入④得：，把代入①得：，则方程组的解为．③方程组整理得：，②①得：，即，把代入②得：，则方程组的解为；④整理得：，①②得：，即，把代入①得：，则方程组的解为；使用整体换元法，简化方程组计算-回忆技巧例2.（青羊区校级月考）已知关于、二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解是．【解答】解：和的形式完全相同，方程组的解为解得：故答案为：．含参-解的讨论例3.（南岗区校级月考）已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围__________【解答】解：，①②，得，，，，解得，，即的取值范围是．二元一次方程组与一次函数（在此处可拓展延申，方程组解与直线交点的关系）例4.如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是_________【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣3，1），即x＝﹣3，y＝1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．例5.已知（xyz≠0），则＝﹣．【分析】将z看作常数，第二个方程整理得到y＝3x﹣4z，然后利用代入消元法表示出y，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：，由②得，y＝3x﹣4z③，③代入①得，2x﹣4（3x﹣4z）﹣5z＝0，解得x＝，将x＝代入③得，y＝3×﹣4z＝﹣，所以，＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，本题难点在于把三个未知数中的一个看作常数．过关检测1.（锦江区校级月考）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为．【解答】解：关于，的方程组（其中，是常数）的解为，方程组的解为，即，故答案为：2.已知方程组的解为非负数，化简．【解答】解：解方程组得，，方程组的解为非负数，，解得，原式．3.（沙坪坝区校级月考）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+4在第二象限交于A，y＝x+4交x轴，y轴分别于B、C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为______________ 【分析】作AH⊥x轴于H，如图，先利用直线AB的解析式确定C点坐标得到OC＝4，再根据三角形面积公式得到AB：AC＝1：2，再根据平行线分线段成比例定理计算出AH＝，从而得到A（﹣4，），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，当x＝0时，y＝x+4＝4，则C（0，4），∵S△ABO：S△ACO＝1：2，∴AB：AC＝1：2，∵AH∥OC，∴＝＝，∴AH＝×4＝，当y＝时，x+4＝，解得x＝﹣4，∴A（﹣4，），∴方程组的解为．不等式不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．不等式的解集口诀：同大取大、同小取小、一大一小取中间易错点：1是否变号2是否取等不等式变号（特别考虑0的情况就行，只有同时乘除负数才变号，加减法都不变号）例1.（1）若，则下列式子不成立的是CA． B． C． D．（2）若，则下列式子成立的是DA．B．C．D．不等式的解法（解集的画法和表示，需要细节说明一下）例2.解下列不等式（1）（2）（3）【解答】（1）化简，得相除为负，异号。两种情况：化简，得或，无解同号，两种情况：（3）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．【解答】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，则不等式组的解集为，将解集表示在数轴上如下：不等式的有解、无解、解的个数例3.（1）不等式的解的情况讨论.（2）【解答】（1）当a-1=0时，不等式无解当a-1＞0时，当a-1＜0时，不等式组无解：解集没有交点就无解区别不等式组无解和不等式无解变号了，3m-1＜0，m＜不等式含参例4.已知不等式组的解集为，求的值．【解答】解：由得：由得：不等式组的解集为：又，．例5整数解，需要特别注意端点取等号的判断例5.已知关于的不等式组的整数解有且只有2个，则的取值范围是．【解答】解：，解①得，解②得，则不等式组的解集是．不等式组有2个整数解，则整数解是，．则．故答案是：．例6.关于的不等式组无解，那么的取值范围是．【解答】解：解不等式得：，解不等式得：，又不等式组无解，，解得：例7.使得关于x的不等式组有解，且使得关于y的方程1+（m﹣y）＝2（y﹣2）有非负整数解的所有的整数m的值是_________【分析】根据关于x的不等式组有解，可以求得m的取值范围，再根据关于y的方程1+（m﹣y）＝2（y﹣2）有非负整数解可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】解：由不等式组，得m﹣2≤x≤﹣2m+1，由方程1+（m﹣y）＝2（y﹣2），得y＝，∵关于x的不等式组有解，且使得关于y的方程1+（m﹣y）＝2（y﹣2）有非负整数解，∴﹣2m+1≥m﹣2，得m≤1，是非负整数，解得，m＝﹣5，﹣2，1，例8.（西湖区校级月考）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．（2）如果，满足条件的所有正整数y有7，8．【分析】（1）根据已知符号[a]表示不大于a的最大整数得出即可；（2）根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，再得出答案即可．【解答】解：（1）∵[a]＝﹣3，∴﹣3≤a＜﹣2，故答案为：﹣3≤a＜﹣2；（2）∵，∴4≤＜5，解得：7≤y＜9，∴所有正整数y有7，8，故答案为：7，8．【点评】本题考查了实数的大小比较和解一元一次不等式组，能根据已知得出不等式组是解此题的关键．过关检测1.已知一元一次不等式，若它的解集是，求的取值范围______【解答】解：（1）不等式，移项合并得：，由解集为，得到，即；2.关于的一元一次不等式组有解，直线不经过第象限．【解答】解：根据题意得：，解得：．当时，直线经过第一、二、四象限，不过第三象限．故填：三3.（金牛区校级月考）对x，y定义一个新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有5个整数解，则实数P的取值范围是﹣≤P＜﹣．【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，∴＝﹣2，＝1，解得：a＝1，b＝3，T（2m，5﹣4m）＝≤4，解得m≥﹣，T（m，3﹣2m）＝＞P，解得m＜，∵关于m的不等式组恰好有5个整数解，∴4＜≤5，∴﹣≤P＜﹣，∴实数P的取值范围是﹣≤P＜﹣，故答案为：﹣≤P＜﹣．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．4.（汉阳区期末）记R（x）表示正数x四舍五入后的结果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝3，R（）＝2；（2）若R（x﹣1）＝3，则x的取值范围是7≤x＜9．（3）R（）＝4，则x的取值范围是4.5≤x＜6.5．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式即可得到结果．【解答】解：（1）R（π）＝3，R（）＝2，故答案为：3，2；（2）∵R（x﹣1）＝3，∴2.5≤x﹣1＜3.5，解得：7≤x＜9，故答案为：7≤x＜9；（3）∵R（）＝4，∴3.5≤＜4.5，∴7≤R（x+2）＜9，∴R（x+2）＝7或R（x+2）＝8，∴6.5≤x+2＜8.5，∴4.5≤x＜6.5，故答案为：4.5≤x＜6.5．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，近似数和有效数字，正确的理解题意是解题的关键．．应用题1.某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）【分析】（1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台的情况下，可列不等式22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解不等式，取其整数值即可求解；（2）在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值；（3）结合（2）得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x，在此，必须把（m﹣10）正负性考虑清楚，即m＞10，m＝10，m＜10三种情况，最终才能得出结论．即怎样安排，完全取决于m的大小．【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案①A型38台，B型62台；②A型39台，B型61台；③A型40台，B型60台．答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，∴当x＝38时，W最大＝5620（万元），答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．【点评】考查学生解决实际问题的能力，试题的特色是在要求学生能读懂题意，并且会用函数知识去解题，以及会讨论函数的最大值．要结合自变量的范围求函数的最大值，并要把（m﹣10）正负性考虑清楚，分情况讨论问题．过关检测1.（成都校级期中）某汽车销售公司计划销售、两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设型汽车购进辆，该公司销售、两种汽车获得利润（万元），两种汽车的成本和售价如表：成本（万元辆）612售价（万元辆）916（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出关于的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆型汽车售价不会改变，每辆型汽车的售价将会提高万元，且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润售价成本）【考点】：一元一次不等式组的应用；：一次函数的应用【分析】（1）设购种汽车件，则种汽车为件，根据题意，可得，，解出的值，即可得到进货方案；（2）根据题意，可得到，利润与购种汽车的一次函数，即可解答哪种利润最大；（3）根据题意，可得到，利润与购种汽车的一次函数，根据的取值，分类讨论解答；【解答】解：（1）设购种汽车件，则种汽车为件，根据题意得，，解得；有3种方案：①购种汽车48件、种汽车为32件；②购种汽车49件、种汽车为31件；③购种汽车50件、种汽车为30件．（2）由题意得，利润，因为，函数随的增大而减小，所以，当时，即，当购种汽车48件、种汽车为32件时，最大利润（万元）；（3）由题意得，利润，当时，购种汽车50件、种汽车为30件时，利润最大；当时，均可采用；当时，购种汽车48件、种汽车为32件时，利润最大．【点评】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，弄清题意，先建立函数关系式，然后，根据实际情况，分类讨论解答．

学习任务1.已知方程组的解满足为非正数，为负数．求的取值范围____________【解答】解：方程组的解为，为非正数，为负数，，解得：．2.若关于，的方程组有非负数整数解，求正整数．【解答】解：解方程组得，，关于，的方程组有非负数整数解，或2或1，或1或0（舍去），答：正整数为1、3．3.有9张卡片，分别写有