浅析函数方程的一些解法

浅析函数方程的一些解法(宜宾学院数学系周文波644000)指导教师：张玲摘要函数方程的理论是个历史悠久、内容丰富、应用广泛的数学分支，本文就函数方程的解进行探索归纳，从而得出求解函数方程的简洁有效方法.关键词函数方程；解法1引言函数方程的解是古老的分析问题之一。早在200多年前的1769年法国数学家、理学家达郎贝尔在论证力的合成时，就导出了函数方程：。法国数学家柯西给出了这个方程的解，并创造了一种非常美妙的解法，这种方法被后人称为柯西方法。许多数学家都曾对函数方程进行过研究，可是至今还没有完整的理论和解法。函数方程的问题对逻辑思维的开展起着重要作用，是学习数学和日常生活分析问题、解决问题的深化。随着函数方程的广泛应用，这类问题就经常出现在高考，奥林匹克竞赛，以及IMO等数学常见考试中，这也从客观上说明了函数方程这个问题极具研究价值，对它进行研究能培养我们的创新意识。它的解法都各具特色，一些简单的函数方程，只需要以初等数学为工具便可解答，这类题目经常在数学竞赛中出现。因此，对函数方程的研究就显得非常有必要。在数学竞赛中经常遇到与函数方程有关的问题,关于这类问题,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据实际问题列出函数方程后再求解其它延伸问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出,而已解出的函数方程中的大多数需用高等数学方法求解,能运用初等方法求解的函数方程并不多，这里先介绍函数方程的性质,然后介绍用初等方法解函数方程的方法.2函数方程的求解策略函数方程即含有未知函数的等式叫做函数方程。例如：等，都是函数方程，其中是未知函数.如果函数在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。例如，上述第一个和第二个函数方程的解分别是一切偶函数，一切以T为周期的函数。寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，叫做解函数方程。有关函数方程方面的题目大致可分为三类：确定函数的表达式；确定满足函数方程的函数的性质；确定函数的值。2.1换元法换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量〔中间变量〕，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。是解函数方程的根本方法之一。对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而来得到原方程的解。例，求解：令，那么，于是，以代，得2.2解方程组法解方程组法是将函数方程的变量〔或关系式〕进行适当的变量代换〔有时需要几次代换〕，得一个〔或几个〕新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组中的未知函数，即可得出所求的函数方程的解。例设，且eq\o\ac(○,1)求.〔第32届美国普特南数学竞赛题〕解从原方程的形式可以看出，作变量代换是有作用的，带入eq\o\ac(○,1)得，把这个式子中的改写成，得eq\o\ac(○,2)再令，代入eq\o\ac(○,1)得把换成，又得eq\o\ac(○,3)把eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)联立，就可以看成是一个关于的三元一次方程组。eq\o\ac(○,1)+eq\o\ac(○,2)-eq\o\ac(○,3)解之，可得经验证这个函数满足原函数方程。例是定义在的实值函数，且，eq\o\ac(○,1)求.解：以代，得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)联立，得消去，得:此方法的特点满足某个等式，这个等式除是未知量外，还有其它未知量，如：，等，必须根据等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出。用此方法解题的关键是得出一个新元，将新元换为，然后和原方程联立求解，最后得出.这种方法无需进行过多的结构分析、对原来方程进行变形等。此方法虽和换元法有联系，但解决问题的思路还是比拟简单。2.3赋值法赋值法是在函数定义域内，赋予变量〔一个或几个〕一些特殊值或式子，使方程化简，从而使问题获得解决.例设是定义在上的不恒等于零的函数，,且对任意，，恒有eq\o\ac(○,1)证明：〔1〕；〔2〕；〔3〕.证明：〔1〕在eq\o\ac(○,1)中，以分别代替，，得〔2〕在eq\o\ac(○,1)中，令，那么eq\o\ac(○,2)因不恒等于0，故必有，使，不妨取，那么，由eq\o\ac(○,2)可得.于是〔3〕在eq\o\ac(○,1)中，以，0分别代，，得例〔2002年北京卷〕是定义在上的不恒等于零的函数，且对任意的都满足：(1)求的值.(2)判断的奇偶性，并证明你的结论.解：(1)令，有令，有，得(2)令，有.因为，所以令，那么故为奇函数.此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值。这样就能使题设条件得到转化，从而得出我们要求的结果。2.4递推法递推法涉及到两个方面的内容，一类是以递推表达式为特征的函数方程形式，另一类是以递归数列表达的函数方程形式。当函数方程按递归的方式表达时，可通过解函数方程相应的特征方程，然后得出所求函数方程的解。设是定义在自然数集上的函数.(确定常数),如果存在一个递推(或递归)关系,当知道了前面项的值由可唯一确定的值,那么称为阶递归函数.递推法(或递归)是解决函数方程的重要方法.例函数定义在自然数集上，且对任意的,都满足求.分析：对于条件中的可首先确定递推关系式，即令得出关于的递推关系，利用递归数列求通项的方法求解.解令，得eq\o\ac(○,1)在eq\o\ac(○,1)中，依次令，有以上个式子相加，得即例是定义在自然数集上的函数，满足，且对任意，有：，求.解原函数方程中令，并利用得整理后，可得令……将上述各式相加，得以代入后，经过整理得于是，所求的函数应为经验证它满足原函数方程.求定义在自然数集上的函数,实际上就是数列的通项.就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等)求定义在上的函数.例有，.解法一由eq\o\ac(○,1)得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)－eq\o\ac(○,1)，得所以数列是首项为，公比为2的等比数列，其通项为：eq\o\ac(○,3)将eq\o\ac(○,2)及代入eq\o\ac(○,3)，并整理，得即2.5数学归纳法数学归纳法是数学中的重要方法之一.适用范围相当广泛，所以对求解函数方程也同样有效，当未知函数定义在自然数集上时常用到.例函数的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数，满足：；，，求.〔第23届IMO第1题〕分析：由条件得知的定义域为正整数集，那么我们试着将这个题的解法同数学归纳法相联系，在解答过程中将题设中的条件适当的转化，我们将发现一定规律，由此得出答案。解由或1，得下面用数学归纳法证明这个命题成立.假设对于小于的一切自然数，结论成立，那么例设是自然数集，是定义在上并在内取值的函数，且对有eq\o\ac(○,1)求的所有可能的值.解设，那么由eq\o\ac(○,1)可得特别如果设，那么有下面用反证法证明，假设不然，设又设那么，这是不可能的，这就证明了，如果，那么由数学归纳法知，对一切所以例求证：不存在这样的函数，它对每个都有证明：反设存在这样的函数，它满足条件，那么eq\o\ac(○,1)于是，用数学归纳法易证：对所有，有.下面证明：设那么eq\o\ac(○,2)的充分必要条件是，这里都是整数.事实上，设eq\o\ac(○,2)成立，那么由eq\o\ac(○,1)有充分性可类似证明.由上述结论可见，假设那么可将配成一个无序数对，这样，A中的数将两两配对.由于A中有奇数〔1987〕个数，所以，必存在与自己配对，即存在整数，使得于是从而，与是整数矛盾.故假设不成立，原命题成立.2.6函数迭代法例设为自然数集，，如果有一个函数时严格递增的，且对每一个，都有.求证：对每一个，都有〔CMO,1990年〕证明：例设(1999年第十届希望杯数学竞赛)解因为所以那么例设为常数，且证明：对任意〔2003年全国高考新课程卷天津等省市试卷第22题)分析：此题的递推关系式中是一个变量，于是我们在利用待定系数法构造新数列时要注意与类型〔1〕的区别，于是可以设，由比拟系数得λ的值，再迭代；思路二，对递推关系进行等价变形，即两边同除以转化为类型〔1〕的问题求解；思路三直接利用关系式迭代转化为求和问题．解：法1(构造等比数列迭代)方法2原式化为方法3(下标递降)：2.7不动点法不动点定理时应用十分广泛的定理，很多数学问题都可以用到它的理论来解题，函数方程的解也不例外，同样可以应用它，而且有时会觉得比其它方法更为简单。例求所有函数，使其定义域为一切正实数，值为正实数，且(1)(2).〔第24届IMO第1题〕解对任意正实数，任意，所以，故，这说明任意正实数都在的值域内.特别地，存在，使，那么因，所以，即是的不动点〔任〕假设，那么，即也是的不动点.特别地，是的不动点，故不存在大于1的不动点.事实上，假设,那么矛盾.因任意为的不动点，故.即eq\o\ac(○,1)设所以也是的不动点，故，所以eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)和eq\o\ac(○,2)，得.即满足题设条件的函数只有.例数列的递推公式为eq\o\ac(○,1)求它的通项公式.解先求出分式线性函数的不动点，既由eq\o\ac(○,2)得出不动点eq\o\ac(○,3)由于满足eq\o\ac(○,2)，所以所以即是公比为的等比数列.，那么可得例数列满足，求数列的通项公式.解：令，得，那么是函数的两个不动点。因为所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，那么评注：此题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式.2.8柯西方法柯西方法是一种“爬坡式”的推理方法，即首先求出自变量取自然数时，函数方程的解，然后依次求出自变量取整数、有理数、实数时，函数方程的解。例设是上的连续函数，且对一切，，eq\o\ac(○,1)求.解(1)当自变量取自然数时.由数学归纳法可得:令，那么eq\o\ac(○,2)在eq\o\ac(○,2)中，令eq\o\ac(○,3)(2)当自变量取整数时.eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)由eq\o\ac(○,3)、eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)，得eq\o\ac(○,6)(3)当自变量取有理数时.设由eq\o\ac(○,2)，有由eq\o\ac(○,6)，有即eq\o\ac(○,7)(4)当自变量取实数时.对任意，存在.由于连续及eq\o\ac(○,7)，有本例中的函数方程是一个很重要的函数方程，它时由法国数学家柯西首先研究的，所以被称为柯西函数方程。本例中的这个解函数方程的方法叫做柯西方法。在许多函数方程问题中，将函数方程通过变形或变换，转化为柯西函数方程，即可利用上述结论例设是的连续函数，且不恒等于零，解函数方程解对一切，有假设存在，有，那么对任何，有这与不恒为零矛盾.故对一切，.于是，可以对原方程两边取对数，得令，得由于连续，由例14可得〔c为任意实数〕，即这里是任意正常数.3结束语关于函数方程问题需要运用初等代数的许多方法和技巧结合来处理相关问题，有时甚至需要用到高等代数的方法原理来指导解题思路。因此，学习关于函数方程的课题时，涉足大量的数学根底理论和原理是我们解决好这类问题的根底。求解这类问题能够帮助我们提高逻辑思维以及分析问题、解决问题的能力。用所掌握的理论原理分析、解决一些实践问题，这才是我们进行探索的目的。函数方程的研究成果对我们的社会生活产生的影响日渐明显，它能够帮助我们解决许多生活中的实际问题。解复杂的函数方程无一般方法可循，导致求解这类问题需要灵活地应用函数方程的根底知识和熟练的变形技巧，所以函数方程的研究是有一定难度的，但是也是十分有趣的课题。目前，函数方程需要我们研究更深入的问题，如用微积分方法，极限方法求解函数方程。在此，希望更多数学爱好者能把精力投入到这类问题的研究中。4谢辞本论文是在指导老师张玲副教授的指导下完成的。在论文写作整个过程中，张林老师给予了悉心本次实验还得到了课题组的各位老师以及相关同学的大力协助，在此一并表示我的感谢！谢谢你们！参考文献1陈传理,张同君.竞赛数学教程.北京高等教育出版社,1995:61-73单墫.数学奥林匹克高中竞赛版竞赛篇.北京大学出版社,2003:251-283俞宏毓.函数方程的一些解法.重庆出版社数学教学通讯总第227期.2005周晓文.函数方程的求解策略.中学数学教学.2003年第5期叶军,卞新荣,李再湘,高中数学竞赛热点