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文档简介
第1章矩阵及应用1.2矩阵的定义与运算矩阵的定义由
m×n
个数
排成的数称为矩阵的第
i行第
j列元素，简称为元．矩阵简记为定义1m行
n列的矩形数表称为
m行
n列矩阵，简称
m×n矩阵．矩阵的定义只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)．只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)．可记作可记作元是实数的矩阵称为实矩阵，是复数的称为复矩阵．几种特殊矩阵主对角线次对角线主对角线上的元称为矩阵的主对角线元．次对角线上的元素称为矩阵的次对角线元．行数与列数都等于
n的矩阵，称为
n阶方阵．可记作几种特殊矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵对角矩阵n阶单位矩阵记作或零矩阵记作两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即A与
B相等，记作
A=B．则称矩阵定义2设有两个矩阵矩阵
A与
B的和记作，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算．矩阵的运算矩阵的运算定义3注矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算．设
A=(aij)，称矩阵(-aij)为
A的负矩阵，记作-A．矩阵的线性运算规律（其中为数）矩阵的运算例1解矩阵的运算其中
aij
表示工厂向第
i
家商店发送第
j种货物的数量；货物的单价及单件重量为的单价，bi2
表示第
i种货物的单件重量．某工厂向三家商店发送的货物数量为试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．例2这四种其中
bi1
表示第
i种货物解矩阵的运算注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的定义4例如
行数时，两个矩阵才能相乘．矩阵的运算解例3矩阵的运算注意(1)矩阵乘法不满足交换律；若
AB=BA，则称
A与
B可交换．可交换的一定是方阵．n阶单位阵与任何
n阶矩阵乘法可交换．注意(2)注意(3)例如矩阵的运算矩阵乘法的运算规律(1)
乘法结合律
(2)
乘法对加法的分配律(3)
数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵的运算方阵幂的运算规律思考A，B可交换时成立下列等式是否成立？矩阵的运算例4解于是矩阵的运算把矩阵
A的行换成同序数的列而得到的新矩阵，转置矩阵的运算规律定义5称为矩阵
A的转置矩阵，记作例如矩阵的运算已知解法1解法2例5矩阵的运算如果满足
AT
=-A，那么称
A为反对称矩阵．对称阵反对称阵设
A
为
n
阶方阵，如果满足，即对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，反对称阵的主对角线元为零．定义6那么称
A为对称矩阵．说明矩阵的运算设列矩阵满足证明例6矩阵的运算证明任一
n
阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和
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