圆锥曲线背景下的综合问题

湖南学海文化传播有限责任公司专题四解析几何1知识梳理高考速递典例精析圆锥曲线背景下的综合问题第十六课时22．解析几何要求有较强的逻辑推理与运算能力，综合考查数形结合、分类讨论、等价转换等重要数学思想知识梳理1．解析几何是代数与几何的综合，以圆锥曲线为载体综合考查函数、方程、不等式、几何、三角函数、数列、向量及导数等知识是近几年高考的基本模式；3αAPB1.(2008·浙江卷)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(

)A.圆B.椭圆

C.一条直线D.两条平行直线B高考速递4B高考速递2.(2008·全国卷Ⅱ)设a>1，则双曲线的离心率e的取值范围是(

)A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)5CABFODxyl例1

如图，已知椭圆(2≤m≤5),过其左焦点F且斜率为1的直线l与椭圆及其准线的交点从左到右依次交于A、B、C、D，设=|AB|-|CD||.(1)求的解析式；(2)求的最值.典例精析6

【分析】先确定A、D的坐标，再确定B、C的坐标，进而得|AB|CD|，然后建立函数关系.解析(1)由已知，焦点F(-1,0)，直线l的方程为,准线方程为,所以所以将代入椭圆方程得：即所以7【回顾与反思】本题综合考查圆锥曲线与函数知识，注意利用函数的单调性求值域和利用平面几何知识简化运算.(2)因为由函数单调性得即的最小值为,最大值为

.8例2(长沙市一中月考卷)已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，是椭圆左焦点.（1)△ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线上运动，求△ABC的垂心G的轨迹方程；(2)若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠=α,∠

=β，求cosαcosβ的值及△的面积.典例精析9分析解析(1)利用坐标代入法求解；(2)应用抛物线定义及解三角形知识求解.又A(-4,0),B(0,-3),(1)设重心,

.由垂心公式有

.又因为点C在抛物线上，得

整理得即为△ABC的重心G为轨迹方程.10【回顾与反思】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，同时综合了函数与三角形的知识.(2)抛物线焦点(1,0),所以=9-1=8,由，得交点P(

,

).tanα=

=

,tanβ=

=-

,所以cosα=

,cosβ=

,cosα·cosβ=

,11典例精析(2008·山东卷)如图，设抛物线方程为(p>0)，M是直线上任意一点，过点M引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2)令(O为原点)，是否存在点M使得点C关于直线AB的对称点D在已知抛物线上？若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.ByA-2pxMO(1)借助导数确定切线斜率，求切线方程；(2)先求对称点D的坐标，再假设点M存在，解方程求点M的坐标.分析12(1)设,由，得,设解析ByA-2pxMO所以即同理，有两式相减,得因为,所以即A、M、B三点的横坐标成等差数列.13(2)设,所以

设，直线AB的方程为因为CD的中点在直线AB上,所以即(*)又因为点也在直线AB上，所以

,ByA-2pxMO14即，代入(*)式得若在抛物线上，所以,解得

=0或=

,即或.当

=0时，，点适合题意；当时，因为，所以CD∥y轴,而,ByA-2pxMO所以AB与CD不垂直，与C、D关于直线AB对称矛盾，故此时不存在符合条件的M点.综上所述，仅存在一点M(0,-2p)适合题意.【回顾与反思】此题综合考查直线与抛物线的位置关系，对称性、存在性问题在高考题中常以压轴题的形式出现.15

例3(2007·四川卷)如图，设、分别是椭圆的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.ＢＡＰＯ典例精析分析(1)将表示成关于点P(x,y)的函数，再求最值；(2)将表示成斜率ｋ的函数，再解不等式.16(1)设P(x,y)为椭圆上任意一点，解析焦点而,所以的最大值为1，最小值为-2，ＢＡＰＯ17(2)设直线l的方程为代入椭圆方程得

设交点所以解得或ＢＡＰＯ18又∠AOB为锐角，所以即所以

,即-2<k<2综上所述，k的取值范围为【回顾与反思