数列的子数列问题讲义-2025届高三数学一轮复习

培优课11数列的子数列问题培优点一分段数列典例1已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a且b1=a1,（1）求数列{b（2）设cn=bn,n≤5,解题观摩[解析]（1）设等差数列{an}的公差为d因为数列{b所以a1+2d因为d≠0，所以a1+4d因为b1=a1=3（2）由（1）知bn=3所以cn当1≤n≤当n≥6时，故Tn1.利用等差数列的通项公式与等比中项的性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式.2.对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式求和.在分段数列关系中引入参数1.已知数列{an}满足an=12,n=1[解析]当λ=1，n≥2时，∴S将数列通项的分段问题改为数列递推关系的分段问题2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且（1）若0<an（2）若a=5，求[解析]（1）当an∈(0当an∈(3故an+1∈(0（2）当a1=a=5时，a2=a1−3=2所以数列{an}为5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，⋯,即数列{an培优点二数列中的奇偶项问题典例2[2023·新高考Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn=an−6,n为奇数,2an,n（1）求{a（2）证明：当n>5时，解题观摩[解析]（1）设等差数列{an}的公差为d，而bn=an于是S解得a1=5,d=（2）由（1）知，Sn=n当n为偶数时，…………审题②当n>5时，Tn当n若n≥3，则Tn=b1+当n>5时，Tn综上所述，当n>5时，解答与奇偶项有关的求和问题的关键1.弄清当n为奇数或偶数时数列的通项公式.2.弄清当n为奇数或偶数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数.3.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k将数列递推关系的奇偶项问题改为数列通项的奇偶项问题1.[2024·南通模拟]已知数列{an}满足a1=1,（1）求数列{a（2）若b2,2a3,b4成等差数列，记数列{cn}满足c[解析]（1）因为bnan+1−an=又数列{bn}为等比数列，所以公比为2，即b所以数列{an}（2）由（1）知数列{bn}由b2,2a3,b4成等差数列得所以b1=2，则数列{cn}将单数列的奇偶项递推问题改为双数列的奇偶项递推问题2.[2024·潍坊模拟]已知等比数列{an}的公比q>1，前n项和为S（1）求{a（2）设bn=an,n为奇数,[解析]（1）因为{an}所以由S3=即a两式相除得1+q+q2q=133，整理得3q2−10q+3（2）当n为奇数时，bn=an=所以T=====9将数列递推关系的奇偶问题改为数列前n项和与通项交融的数列奇偶问题3.[2024·南京模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Snn∈N∗，数列{b（1）求数列{an}（2）若cn=2Sn,n为奇数,b[解析]（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{因为a1=3,b1=1,b所以an=2n（2）由（1）知，Sn=所以T2n培优点三两数列的公共项问题典例3已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=4n−1解题观摩[解析]设ak=b所以k=因为3,4互质，所以m+1必为4的倍数，即cp=bm=解决两个等差数列的公共项问题的两种方法1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式.2.周期法（即寻找下一项）：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（如周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.给定数列中一个是等差数列，一个是等比数列1.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n−2[解析]由题意，令21=3n−2,得n令22=3n−2,得n令23=3n−2,得n令24=3n−2,得n依此类推，可得数列{cn}为4,42,43,44,⋯，即{c给定数列中一个是等差数列，一个是非等差非等比数列，求最小值2.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=5n−4[解析]令ak=bm，即5k−4=所以m=1或m+1=5i或m−1=5i,所以5k−4=1或5k−故数列{cn}是首