天津师范大学南开附属中学2022-2023年九上期末数学试卷（解析版）

天津师范大学南开附中九年级数学学科线上考试一、选择题（共12小题；共48分）1.下列事件属于必然事件的是（）A.367人中至少有两人的生日相同 B.某种彩票的中奖率为，购买1000张彩票一定中奖C.掷一次骰子，向上一面是6点 D.某射击运动员射击一次，命中靶心【答案】A【解析】【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：A、一年最多有366天，367人中至少有两人的生日相同，是必然事件；B、某种彩票的中奖率为，购买1000张彩票一定中奖，是随机事件；C、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件；D、某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．故选：A．【点睛】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形.故选A.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A.图象经过点(-1,-1) B.图象在第一、三象限C.当时， D.当时，y随着x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A、x=-1，y==-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．4.设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（）A.3 B.2 C.4或10 D.2或5【答案】B【解析】【分析】根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可以求得圆的半径．【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，∴⊙O的直径为：7-3=4，∴⊙O的半径为2，故选B．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5.设一元二次方程的两个实数根为，，则等于（）A.1 B. C.0 D.3【答案】B【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出：，，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，

∴，，

∴．

故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．6.设，那么函数与在同一坐标系中大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数及一次函数图象的特点进行分析即可求解．【详解】解：∵，∴，则正比例函数的图象经过一、三象限，排除B、C选项；∵，则反比例函数的图象在二、四象限，排除A选项；故选项D符合题意；∴，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，掌握它们的性质是解题的关键．7.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将点分别代入反比例函数，求得的值后，再来比较一下它们的大小．【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，∴，即；，即；，即；∵，∴；故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．8.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A.100×80﹣100x﹣80x=7644B.（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C.（100﹣x）（80﹣x）=7644D.100x+80x=356【答案】C【解析】【详解】设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故选：C．9.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．11.如图，在中，，，则下列结论错误的是（）A.弦的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦的长等于圆内接正十二边形的边长C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．【详解】解：A．因为，，所以，所以为等边三角形，，以为一边可构成正六边形，故结论正确，该选项不符合题意；B．因为，根据垂径定理可知，；再根据A中结论，弦的长等于圆内接正十二边形的边长，故结论正确，该选项不符合题意；C．根据垂径定理，，故结论正确，该选项不符合题意；D．根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，，故结论错误，该选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．12.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【答案】D【解析】【详解】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正确；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键．二、填空题（共5小题；共20分）13.一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球【答案】15【解析】【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4，设黄球有x个，∴0.4（x+10）=10，解得x=15．故答案为：1514.已知4是关于x的方程x2﹣3mx+4m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．【答案】10【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝4代入方程求出m得到原方程为x2﹣6x+8＝0，再解此方程得到得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为4，底边为2，再计算三角形的周长．【详解】解：把x＝4代入方程得x2﹣3mx+4m＝0，解得m＝2，则原方程为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，因为这个方程两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为2，则△ABC的周长为4+4+2＝10；②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．综上所述，该三角形的周长的10．故答案为10．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．15.如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝_____．【答案】【解析】【分析】首先证明，再利用全等三角形的性质证明EF＝CN即可解决问题．【详解】解：，∴，在与中，，，，，，，故答案为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．16.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为______．【答案】π【解析】【详解】试题分析：整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积．解：连接BH、BH1∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2∴AB=4∴AC==2∵H为AC的中点∴在Rt△BHC中，BC=2根据勾股定理可得：BH=∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π点睛：本题主要考查旋转的性质.将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.17.如图，在平面直角坐标系中，点，绕坐标原点将顺时针旋转，得．当点的对应点落在的延长线上时，点的对应点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据坐标与图形得到，推出，推出，利用三角形函数的定义分别求得，，据此即可求解．【详解】解：作于F，交y轴于点C，∵，，∴，，∴，∴，

∴，∵绕点O顺时针旋转得，∴，，，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴点E的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（共4小题；共32分）18.如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形的数）．（1）小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是______________．（2）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是5的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用概率公式计算可得；（2）先画树状图展示所有9个等可能的结果数，再找出两个数字之和为5的结果数，由概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，转盘中有3的数字为1个，∴小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：共有9个等可能的结果数，其中两个数字之和为5的结果数为2个，∴两个数字之和为5的概率＝．【点睛】本题考查了列表法与树状图，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；画出树状图是解题的关键．19.如图，直线（）与双曲线（）相交于、两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若，，为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系式为______；（3）当时，反比例函数的取值范围为______；（4）观察图象，请直接写出不等式的解集：______．【答案】（1）双曲线解析式为；直线解析式为（2）（3）（4）或【解析】【分析】（1）将点坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出双曲线解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出点坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出直线解析式；（2）根据三点横坐标的正负，得到与位于第一象限，对应函数值大于0，位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，即可得到大小关系式；（3）分别解出当与时的函数值，根据函数的图像即可得出；（4）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集．【小问1详解】解：将代入双曲线解析式得：，即双曲线解析式为；将代入双曲线解析式得：，即，，将与坐标代入直线解析式得：，解得：，，则直线解析式为；【小问2详解】解：，且反比例函数在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，与位于第一象限，即，位于第三象限，即，则；故答案为：；【小问3详解】解：当时，随的增大而减小，当时，当时，当时，反比例函数的取值范围为；故答案为：；【小问4详解】解：由，，由，，当时，利用函数图象得：不等式的解集为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的值，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20.如图，已知，是延长线上一点，与交于点，．（1）求证：；（2）若面积为，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）要证，需找出两组对应角相等，利用平行四边形的对角相等，再