第24章 Բ 复习课（第1课时） 教学设计

第24章圆复习课（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本章的主要内容有圆的相关概念，圆的性质，点、直线和圆的位置关系，弧长和扇形面积等，是初中阶段几何版块学习的重要章节，为高中阶段继续学习立体几何和平面解析几何奠定基础.本章内容是在学生已经学习过三角形、四边形等基本平面图形的概念和性质，并研究过平移、旋转、轴对称三大几何变换的性质和应用之后，类比三角形、四边形展开学习的，因而在学习圆的过程中既可以直接与三角形、四边形知识相联系，又可以进一步体会研究几何图形的思路和方法.本节课是对本章圆的相关概念，性质，点、直线和圆的位置关系三个版块知识的回顾总结与巩固提升．通过本节课学习，引导学生回顾“圆”的探究思路和方法，形成比较系统、完善的知识网络，进一步培养学生综合运用所学的知识分析问题解决问题的能力.概念解析本章的主要内容包括圆及其相关概念，圆的轴对称性、中心对称性及和旋转不变性，垂径定理及推论，弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理及推论，点和圆的位置关系，三角形的外接圆，直线和圆的位置关系，切线的判定和性质，三角形的内切圆，正多边形和圆，弧长和扇形面积的计算等.并且，本章引入了反证法，完善了逻辑推理和几何证明的方法.思想方法圆的学习是建立在相交线与平行线，三角形，四边形等基本平面图形的学习之上的，因而可以利用学生已有的学习经验，类比先前研究几何图形的思路和方法进行学习；在具体解决问题的过程中会涉及转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、建模思想等.知识类型圆的相关概念和性质以及点、直线和圆的位置关系属于概念性知识，具体应用属于原理与规则的知识．知识类型决定了在本节复习中应注重回顾概念、性质和定理的生成，并加强变式练习，使学生能够灵活运用，形成能力．在此过程中，要鼓励学生主动从数学的角度提出问题、主动类比，结合已学过的基本平面图形的性质、位置关系去探究适当的解题方法.教学重点本节课的教学重点：基础知识的归纳总结；提高综合运用圆的知识解决问题的能力.教学目标解析教学目标：1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系．2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．4．知道三角形的内心和外心．5．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．6．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．7．通过实例体会反证法的含义．目标解析：目标1达成的标志：能根据相关概念解决具体问题.目标2、3、4达成的标志：会利用定理进行与线段或角相关的求值或证明.目标5、6达成的标志：会灵活运用切线的判定或性质定理以及切线长定理进行有关的证明或计算．教学问题诊断分析具备的基础学生在小学初步学习过圆的概念.通过本学段两年多的学习，学生已经对平面几何图形的研究内容及方法有了较为丰富的经验和认知基础，具备了一定的归纳总结能力和分析问题解决问题的能力.与本课目标的差距分析本章知识点较多，且知识之间的联系有很强的逻辑性，因而梳理本章的研究思路和方法，构建本章的知识结构图，对于学生的能力有较高的要求，在利用圆的有关性质解决问题的过程中，部分学生还可能会因为对题目的分析能力较弱而遇到障碍.存在的问题：本节复习的内容较多，学生在运用圆的有关概念和性质解题时，可能会略显生涩.图形的结构较为复杂时，部分学生不容易迅速区分主要构图对象，从而不能迅速添加有用的辅助线；题目条件较少的时候可能会找不到图形中的隐含信息；面对需要分类讨论的综合题解决起来可能不太顺利.应对策略：通过课前检测，对发现问题及时补救，巩固基础知识，引导学生进一步理解概念和性质；通过问题引领和针对性的变式训练，强化基础知识；注意引导学生分析问题中图形的结构特征，指导学生充分发掘直接的和隐藏的已知信息，并做好对应标记；对具体问题中不能确定的位置关系做好分类；养成良好的解题习惯，提升逻辑思考能力和几何语言表达能力.教学难点本课时的教学难点为：（1）梳理本章的知识结构，进一步体会研究几何图形的思路和相关数学思想方法；（2）圆及其相关知识的综合运用．教学支持条件分析通过多媒体的应用，提高课堂教学效率．最好能借助手机移动授课助手APP等了解训练情况，并将学生课堂练习中的优秀作品和典型问题进行现场展示，师生共同修改，教学相长，增强课堂教学的互动性.另外，还可借助微课展示经典习题的完整思考、解题过程，帮助学生全面把握运用知识解决问题的思路和方法.教学过程设计课前检测1．平面内到点O距离为3cm的点有________个，他们组成的图形是________.2．已知,点A、B、C、D是⊙O上不重合的四点，且∠AOB=∠COD，则AB与CD的关系是（）A.AB＜CDB.AB=CDC.AB＞CDD.无法确定3．如图，已知⊙O的半径为5，点A、B、C在⊙O上，弦AB=8，OC⊥AB，则点O到AB的距离为________.4．如图，A、B、C位于⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB=________.5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外心到顶点C的距离为_________.6．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠A=40°，则∠BOC=_________.【师生活动设计】学生进行检测，教师巡视，了解学生解答情况，及时发现问题，在后续教学中进行补充巩固.设计意图：通过课前检测，检测学生学习本章知识的情况，有助于老师针对性地进行及时补救．对本章所学的圆的概念、基本性质以及点、直线和圆的位置关系等知识点进行巩固.回顾本章【师生活动设计】小组交流合作，共同完成知识梳理，并以框架图的形式呈现，教师巡视，进行鼓励和指导，并进行积极评价.设计意图：在课前检测的基础上进行回顾，再通过小组交流合作，引导回顾本章主要知识点和它们之间的联系和区别，让学生在不断的交流、补充当中将本章的主要概念及结论进行准确表达，并梳理出本章的知识结构，方便学生进行反思的同时，提高归纳总结能力和语言表达能力．问题探究问题1：已知⊙O的直径AB=30，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，则AE长为（）A.9B.6C.6或24D.9或24追问1：垂径定理及其推论的内容是什么？追问2：在主要条件不变的情况下，如何描述弦CD的位置能使本题有唯一确定的答案？【师生活动设计】独立思考，举手回答，同伴评价，教师概括．设计意图：考察学生对垂径定理和圆的轴对称性的理解，通过师生活动设计使学生感受由于弦和圆心的相对位置不能确定导致答案不唯一，并准确对弦和点A的位置进行讨论.变式训练：AB是⊙O的弦，∠OAB=40°，则弦AB所对的圆心角大小为_______，弦AB所对的圆周角大小为________.设计意图：变式训练既是巩固练习，也是检测（下面的变式训练有相同的作用）．通过变式一方面了解学生相关知识的掌握情况，便于及时调整教学；另一方面能让学生进一步感受因弦所对的圆心角的位置不确定导致答案可能有多种情况，并且可通过对弧、弦的辨析重新审视圆的基本概念，深入理解，体现章节复习课对能力提升的要求.问题2：如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，已知∠BDC=30°，BD=6，则AC的长度为（）A.B.C.12D.6追问1：30°的角常在哪种特殊图形中运用？如何在圆中构造出这种特殊图形？追问2：在圆中我们常使用哪些性质转化相等的角？追问3：你能想出哪些方法解决此题？【师生活动设计】独立思考，举手回答，师生共同归纳总结．设计意图：通过这个典例，主要是让学生感受圆的轴对称性和转化思想.在已知直径过弦的中点的条件下，可以判定直径和弦互相垂直；已知的弦长可以转化到弦长相等的特定位置.使用圆周角定理及其推论，可以将已知条件中的特殊角度转化到更便于应用的位置，利用直径又可以构造新的直角三角形，从而找到解决问题的突破口.并且，此题解法多样，有利于培养学生的创新精神.变式训练：已知，如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于点E，F是上的一动点，若⊙O的半径为6，CE=，则∠AFC的大小为_______.设计意图：通过变式巩固对垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论的掌握.并与含特殊角度的直角三角形相结合，综合考查数学转化思想的运用，体现章节复习课对能力提升的要求.问题3：用反证法证明命题：在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b.首先应先假设_________________________.追问1：用反证法证明命题的步骤有哪些？追问2：如何确定命题的结论的反面呢？【师生活动设计】独立思考，小组交流，代表展示，评价补充完善．设计意图：问题的设置旨在复习反证法证明命题的思想和步骤．追问1、追问2的设置是为了明确反证法是间接证明命题的一种重要方法，在确定结论的反面时，要考虑结论的反面的所有情况，如果只有一种，否定这一种就可以了；如果不止一种，则需一一否定.从而完善学生证明的思路和方法，培养逻辑思考能力.变式训练：用反证法证明命题：一个三角形中至多有一个角不小于90°.首先应先假设___________________________.设计意图：在对反证法的思想和步骤有了基本认识之后，强化练习找出命题结论的对立面，尤其是对立面情况不止一种的题型，学生不容易找到所有情况，在此极易出错，通过针对性训练可帮助学生理解如何一一否定，防止类似错误出现.问题4：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，⊙O是△ABC的外接圆.求⊙O的半径.追问1.由外接圆你可以得到那些数量关系？依据是什么呢？追问2.等腰三角形和圆都具有哪种对称性？这种性质对于具体问题中求线段的长有什么帮助？追问3.当所求的线段长度不能直接求出时，你会考虑哪些方法？【师生活动设计】思考解决三个小追问后学生独立完成计算，学生代表展示讲解，老师进行点评总结，规范解题书写格式.设计意图：回顾三角形的外接圆的性质，并结合等腰三角形的性质综合运用，同时还要在具体背景中构造直角三角形，用方程思想解决间接求值问题，提高分析能力和综合运用的能力.变式训练：如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点.M、N分别在AB、AC上，且MN与⊙O相切于点P，若AB=5，BF=2，则△AMN的周长是______________.设计意图：结合问题4，让学生在具体问题中巩固三角形的外接圆和内切圆的概念和相关特性，并结合切线长定理，运用整体思想解决问题，进一步使学生积累用代数方法解决几何问题的经验.问题5：在△ABC中，AB=AC，且AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.①求证：DE是⊙O的切线.②若O是AB上的任意一点，OB为⊙O的半径，⊙O仍与BC相交于点D，其余条件均不变，ED和⊙O的位置关系是否会发生改变？为什么？③在②的条件下，若⊙O与AC相切于点F，OB=4，CE=2，求AF的长度.追问1.如何判定一条直线是圆的切线？追问2.等腰三角形的哪些性质与本题相关？你是怎样将这些性质与圆联系起来的？追问3.在问题②中，改变圆心O的位置对哪些结构不产生影响？追问4.切线有哪些性质？我们可以在图3中构造怎样的基本图形？你发现其中有哪些数量关系可以用于解决问题？设计意图：通过对题目分析解答，让学生经历探究归纳、总结应用的过程，巩固切线的判定和性质定理，体会将特殊问题一般化的方法.提高学生利用已有条件添加辅助线，构造特殊图形，建立方程解决问题的能力.变式训练：在△ABC中，AB=AC，且AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，交AC于点E.①DE与AC有怎样的位置关系？请说明理由.②若O是AB上的任意一点，OB为⊙O的半径，⊙O仍与BC相交于点D，其余条件均不变，ED和AC的位置关系是否会发生改变？为什么？③在②的条件下，若△ABC为等边三角形，且⊙O与AC相切于点F，AB=+3，求⊙O的半径.设计意图：改变题目条件，反过来利用切线的性质证明垂直关系，让学生练习与问题5类似的探究归纳、总结应用的过程，辨析切线的判定和性质定理，巩固利用已有条件添加辅助线，构造特殊图形的技巧，自我检测建立方程解决问题的能力.课堂小结请同学们对照本课时的学习目标和以下问题进行反思，梳理所复习的知识、方法、规律等，检查自己是否真正达到了本课时的目标要求.1．本节课复习的主要内容有哪些?它们之间有怎样的关系?（回顾知识结构图）2．本节课研究了几个问题？你有哪些收获或体会（知识、思想、方法、经验等）？3．用反证法证明命题的步骤有哪些？4．你认为添加辅助线的本质是什么？和同学们交流.【师生活动设计】学生回顾反思主要知识点，方法以及知识结构，部分学生进行发言交流，教师适时补充、鼓励，完善本节课复习的知识、方法和规律.设计意图：让学生回顾本节课所学，并畅谈收获，体现学生的主体地位，给学生创设展示自己的机会，