北京市朝阳区2022-2023学年九上期中数学试卷（解析版）

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1.在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形概念求解．【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形。故本选项不合题意．故选：C．【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式建立不等式求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴＞0，∴＞0，∴＞0，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．3.将二次函数图象向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线y＝2x2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y＝2x2﹣1，故选B．【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．4.在平面直角坐标系中，下列函数的图象上存在点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定P点在第一象限，分别画出各个选项的图象判定即可．【详解】解：∵，∴点P在第一象限，如图所示：只有的图象过第一象限，故选A．【点睛】本题考查了函数的图象，掌握一次函数，二次函数及反比例函数的图象的特点是解题的关键．5.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（）A.9 B.－9 C.1 D.－1【答案】C【解析】【分析】根据配方法将化简，然后得出结果即可．【详解】解：方程可化为：则有，∴，则，故选：C．【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，

依题意得：x（60-x）=864，整理得：．

故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：…﹣1013……0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2④若y>0，则x>3其中所有正确的结论为（）A.①④ B.②③ C.②④ D.①③【答案】D【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴该函数图象的对称轴是直线x==1，∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式，故选项①正确，选项②错误；∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．8.老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面画出白道，最少一道，多的是三道或五道，再将纸条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张，从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张，

∴从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是.故选：B.二、填空题（每小题3分，共24分）9.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

整理得：，

解得：．

故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．10.对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．【答案】-3或4【解析】【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．【详解】根据题意得，，，，或，所以．故答案为或．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．11.如图，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为______°．【答案】120【解析】【分析】根据图形旋转的性质，可得：BA=BC，由等腰三角形的性质，可知：∠OBC=∠OBA，由，，可知：∠OBA=60°，从而可得旋转的角度.【详解】∵A，B两点的坐标分别为，，∴OA=3，OB=，∴在Rt∆AOB中，，∴∠OAB=30°，∴∠OBA=90°-30°=60°，∵线段绕点B顺时针旋转得到线段，∴BA=BC，∵BO⊥AC，∴∠OBC=∠OBA=60°，∴∠ABC=∠OBC+∠OBA=60°+60°=120°，故答案是：120.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握“当腰三角形三线合一”是解题的关键.12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△A可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点与点B是对应点，点与点C是对应点)，连接，则∠的度数是_____________．【答案】15°【解析】【详解】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故答案为：15°．13.已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是_____.【答案】【解析】【分析】列树状图即可解答.【详解】由题意列表得：共有20种等可能的情况，其中可以使电路形成通路的有12种，∴P(使电路形成通路)=,故填：.【点睛】此题考查概率，列树状图或列表求得即可.14.一个函数满足过点，且当时，y随x的增大而减小，该函数可以为_____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数（可排除），二次函数三方面考虑，根据每种函数的性质确定合数的系数即可．【详解】解：符合题意的函数解析式可以是，等，（答案不唯一）

故答案为：，答案不唯一；【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．15.已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．【详解】解：∵抛物线，∴当y=0时，，解得，∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解．【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，解得：h＞；当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥，故h的取值范围是h≥．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键．三、解答题（共52分）17.用适当的方法解下列方程：（1）．（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）直接利用开平方法解一元二次方程即可；（2）直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴，；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．18.已知关于的一元二次方程．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若是该方程的一个根，求代数式的值．【答案】（1）有两个不相等的实数根（2）11【解析】【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac判断即可．（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，再将-2k2+8k+5变形为-2（k2-4k）+5，代入求值即可．【小问1详解】解：∵Δ=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，得4-4k+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，∴-2k2+8k+5=-2（k2-4k）+5=-2×（-3）+5=11．【点睛】本题考查一元二次方程根判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，一元二次方程无实数根．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BEF=65°【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；（2）由全等三角形的性质以及三角形内角和定理可求解．【小问1详解】证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；【小问2详解】解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∵∠BDE=25°，∴∠BEF=65°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20.已知二次函数．（1）把二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______．【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1（2）见解析（3）﹣1≤y≤3【解析】【分析】（1）用配方法即可求解；（2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可；（3）根据函数图象，找出函数图象在x轴下方的时候x是取值范围即可．【小问1详解】解：，【小问2详解】由（1）可知：，∴函数的顶点坐标为（2，-1），当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，当x=3时，y=0，当x=4时，y=3，∴该函数经过（1，0），（0，3），（2，-1），（3，0），（4，3），如图：【小问3详解】由（2）中函数图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3，∴当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为：0≤x≤3．【点睛】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．21.12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x人数班级一班203780二班015770三班014771四班m03752（1）频数分布表中，m＝；（2）从中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先求出九年级一班的学生为20人，各班人数相同，即可得出答案；（2）画树状图，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：∵九年级一班的学生为：（人），各班人数相同，∴，故答案为：3；【小问2详解】解：一班有2人，分别记为A、B；四班有3人，分别记为C、D、E；画树状图如图：共有20个等可能的结果，所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的结果有14个，∴所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．22.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价（元/件）…30405060…每天销售量（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量与单价满足一次函数关系，求出与的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？【答案】（1）y＝﹣10x+800；（2）单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润单件利润销售量”可得关于的一元二次方程，解之即可得．【详解】解：（1）设y＝kx+b，根据题意可得，解得：，每天销售量与单价的函数关系为：y＝﹣10x+800，（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.【点睛】本题主要考查了一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．23.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面高度为m米，则m=；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．【答案】（1）图见解析，（2）1.5（3）2.1米，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表中数据得出抛物线的顶点坐标，然后设抛物线解析式h=a(d-2)2+1.5，代入点求解即可得；（2）由（1）中确定的顶点式即可得出结果；（3）设水管高度至少向上调节m米，根据题意得出不等式，代入求解即可得出结果．【小问1详解】解：以水管与湖面的交点为原点，水管所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：根据表格数据可得，d=1与d=3的函数值相同，∴对称轴为d=2，h=1.5，∴抛物线的顶点坐标为（2，1.5），∴设抛物线的解析式为h=a(d-2)2+1.5，将点（0，0.5）代入可得0.5=4a+1.5，解得：a=，h=(d-2)2+1.5，当h=0时，d=2+，∴h=(d-2)2+1.5（0<d<2+）；【小问2详解】由（1）可得：当d=2时，h最大为1.5，故答案为：1.5；【小问3详解】设水管高度至少向上调节m米，由题意可知调节后的水管喷出的抛物线的解析式为h=d2+d+0.5+m，当横坐标为2+时，纵坐标的值大于等于2+0.5=2.5，∴×3.52+3.5+0.5+m≥2.5，解得：m≥，0.5+米，水管高度至少要调节到2.1米．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，顶点式的应用以及不等式的应用，理解题意，确定二次函数解析式是解题关键．24.在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．【答案】（1）对称轴为直线x＝a﹣1（2）①y=0；②x1＝a﹣2（3）a≥﹣1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可；（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值．（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；小问2详解】解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；【小问3详解】解：①当a≥﹣1时，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意．②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．25.已知，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接．（1）如下图，若P为线段AB的中点．①直接写出的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．①设，求的大小（用含a的式子表示）；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①，②补图见解析，，(2)①,②CD=PD+DQ；【解析】【分析】(1)①根据对称可求△APQ为等边三角形，根据中点可得BP=PQ，可求的度数；②依题意补全图形即可，利用解直角三角形可判断出线段CP与AP的数量关系；(2)①连接CQ，根据对称得到CQ=PQ，求出顶角∠CQP=即可；②在DC上截取DE=DQ，证△QCE≌△QPD，可得线段之间的数量关系．【详解】解：(1)①∵，点P关于直线AN的对称点为点Q，∴∠PAQ=2∠MAN=60°，AP=AQ，∴△APQ是等边三角形，∴PQ=AP=BP，∠QPA=∠AQP=60°，∴；②补图如图所示：连接BC，由对称得，BC=BA，∠CBP=2∠ABQ=60°，∴∠CBP=∠PAQ，∵BP=AQ，∴△CBP≌△BAQ，∴