高数换元积分法的课件

1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法利用三角公式,代数公式,积分性质复习§4-1不定积分的概念与性质2021/5/91二、第二类换元法一、第一类换元法§4-2

换元积分法2021/5/92第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有复合函数求导2021/5/93一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)2021/5/94注：①定理说明：若已知则因此该定理的意义就在于把中的换成另一个的可微函数后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性故扩展了基本积分表的适用范围②由定理可见，虽然是一整体记号，但可把视为自变量微分——凑微分2021/5/95凑微分法的基本思路：

与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1

求解（一）解（二）解（三）注：形式不一样，实质差常数2021/5/96例2.

求解:令则联想公式例2-例4类型相同2021/5/97例3.

求想到解:(直接配元)2021/5/98例4解注：拆项是常用的技巧2021/5/99例5.

求解:类似例5-例6类型相同2021/5/910例6

求解（一）（使用了三角函数恒等变形）2021/5/911解（二）2021/5/912类似地可推出解（三）2021/5/913常用的几种配元形式:

2021/5/914例7

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.2021/5/915例8

求解积化和差2021/5/916例9

求原式解分母有理化2021/5/917例10

求凑微分配方2021/5/918解例11

设求.令2021/5/919例12

求解:原式2021/5/920第一类换元法常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如2021/5/921二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，2021/5/922定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式2021/5/923例1.

求解:

令则∴原式取单调区间2021/5/924例2.

求解:

令则∴原式取单调区间2021/5/925例3.

求解:令则∴原式取单调区间2021/5/926令于是2021/5/927说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令注：所作代换的单调性。对三角代换而言，取单调区间即可。2021/5/928说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令2021/5/929说明(3)

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例求（三角代换很繁琐，采用根式代换）解令2021/5/930说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例求解令2021/5/931说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）

例求解令2021/5/932第二类换元法常见类型:

令令令或令或令或后讲令(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

2021/5/933基本积分表2021/5/9342021/5/935解:

原式例1.

求例2.

求解:2021/5/936小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代