2023-2024学年苏科版七下数学提优专题 神奇的完全平方数（含答案）

PAGE1页（13页）2023-2024学年苏科版七下数学提优专题神奇的完全平方数一．选择题（共7小题）下（ 表的一不某然的方其中n非自数．A．3n2﹣3n+3 B．4n2+4n+4C．5n2﹣5n﹣5 D．7n2﹣7n+7E．11n2+11n﹣11使得3n+81为完全平方数的正整数n的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．53201•侯校自招）得2012n完平数正数n个为（ ）A．0 B．1 C．2 D．无穷个有（ ）个整数对（x，y）满足方程x2020+y2＝2y．A．1 B．2 C．3 E．无数若四位数是一个完全平方数，五位数也是一个完全平方数，则＝（ ）A．1234 B．5265 C．5625 D．2341设n是大于1909的正整数，使得为完全平方数的n的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6使n5﹣5n3+4n+7成为完全平方数的自然数n的取值（ ）有且只有一个C．有无穷多个D．不存在二．填空题（共7小题）8（200•浙江自主招生）设N＝23x92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对．9202•波拟使得n21995完平数自数n值是 ．若x﹣45和x+44都为完全平方数，则正整数x的值为 ．九个连续正整数从小到大排成一个数列a1，a2，…，a9.若a1+a3+a5+a7+a9为平方数，a2+a4+a6+a8为立方数，则a1+a2+…+a9的最小值为 ．把1，2，…，30这30个数分成k个组（每个数只能在一个组中出现，使得每一个组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，则k的最小值为 ．能使2n+256是完全平方数的正整数n的值为 ．如果28+212+2n为完全平方数，则正整数n为 ．三．解答题（共7小题）aa2+2004aa的最大值．16．证明数列49，4489，44489，4448889，…的每一项都是一个完全平方数．17ab92ab＝504a5b1）a，b的值．nn2+9n﹣3n的值．A、nA＝n2+15n+26n的值．mm＜2006nm﹣n为质数，mn是一个完全平方数．求证：任意五个连续整数的平方和不是完全平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1＝2时，n﹣33＝＝3，∴A选项不符合题意；∵n4n4＝4nn1n2n2n1（n1），∴B选项一定不是完全平方数，∴B选项符合题意；当n＝3时，5n2﹣5n﹣5＝25＝52，∴C选项不符合题意；∵当n＝3时，7n2﹣7n+7＝49＝72，∴D选项不符合题意；∵当n＝3时，11n2+11n﹣11＝121＝112，∴E选项不符合题意．故选：B．2解：当n4n≥4时，381343﹣4，∴只需3n﹣4+1是完全平方数即可．代入可得n＝5时符合题意．故选：D．3解：201224126n﹣）∵2016+2n为完全平方数，∴126+2n﹣4是完全平方数，而126不是完全平方数，且126＝2×1×3×3×7∴2n﹣4＝12+632或32+212或92+72，∴2n﹣4＝3970或450或130，∴不存在正整数n，使2n﹣4＝3970或450或130，∴使得2016+2n为完全平方数的正整数n的个数为0，故选：A．4解：x2y＝2，x2020+y2﹣2y＝0．方程的两边都加上1，得x2020+（y﹣1）2＝1．∵x、y都是整数，∴0≤x2020≤1，0≤（y﹣1）2≤1x2020（y﹣1）2都为整数．当x2＝0y﹣）1，此时x＝0，y＝2或0，所以满足条件的整数对有 或 ；当x2＝1y﹣）0，x＝±1，y＝1，所以满足条件的整数对有 或 ．故选：D．51234∴A选项不符合题意；∵5265不是完全平方数，∴B选项不符合题意；∵5625＝752，15625＝1252，∴C选项符合题意；∵2341不是完全平方数，∴D选项不符合题意．故选：C．6解】：设N（N完平数N01，，916…，即是：＝所以＝N+1，（N1（209n＝10，N1和200﹣n100∴N＝49时，n＝2007；N＝9时，n＝1999；N＝4，n＝1989，N＝1，n＝1959．故选：B．7n﹣5347＝nn﹣547＝（n1n247＝（n2n1n1n2）7，又∵当nnn﹣（﹣1（n1（n2一定是10∴n5﹣5n3+4n+7的个位数是7，∵完全平方数的个位数只有0或1或4或9或6或5，没有7，∴n5﹣5n3+4n+7不可能是完全平方数．故选D．二．填空题（共7小题）解：＝2x92＝2（x4yN232设x4y＝2mm正数且＝2m239得：m2＝5∴m2＝1或4．（1）当m2＝1时，由x+4y＝23，（xy＝3，7，3（1，2（1，5（2）当m2＝4时，由x+4y＝92，（xy＝4，2821（1，21619…88122综上所述，满足条件的（x，y）共有27对．故答案为：27．【解答】解：①n＝1，2，3，4时显然不符合题意；②当≥5n102n﹣1n95n，n21995n10⇒＝5（2219n9n9⇒n14n514．故答案为：5【解答】解：∵x﹣45x+44都为完全平方数，x为正整数，∴可设x﹣45＝m2，x+44＝n2，其中m，n为正整数，∴n2﹣m2＝（x+44）﹣（x﹣45）＝89，（nm（+m＝8＝189，∵m，n为正整数，∴n﹣m＜n+m，∴n﹣m＝1，n+m＝89，解得：m＝44，n＝45，∴x﹣45＝m2＝442，∴x＝1981．故答案为：1981．【解答】解：设这九个连续的正整数为：a﹣4，a﹣3，…，a+3，a+4，a1+a3+a5+a7+a9为平方数得，5a＝m2，同理4a＝n3，则，即4m2＝5n3．m，n10m＝10p，n＝10q，则4（10p）2＝5（10q）3，故4p2＝50q3．则取p＝10，q＝2即可，此时m＝100，n＝20，则a＝2000，所以a1+a2+…+a9＝9a＝18000．故答案为：18000．121，，…，30这306195630＝619307，∴6，19，30这三个数不能分到同一组，（鸽巢原理23∴k的最小值为3．故答案为：3．13解：当n8时，225＝n128﹣n是2若n＝2，则2n+256＝22×65；PAGE10页（13页）n＝42n+256＝24×17；n＝62n+256＝26×5；n＝82n+256＝28×2．所以，当n≤8时，2n+256都不是完全平方数．当n＞8时，22562（2﹣1﹣812n﹣1（k）（k2﹣1kk．由于k和k+1一奇一偶，2n﹣101×2，k＝12n﹣10＝2，故n＝11．故答案为：11．或或28+212+2n＝（24）2+2×2n﹣1+（26）2，且28+212+2n是完全平方数，∴4+＝11或6+＝7或4+6＝n﹣1，解得：n＝14n＝2n＝11，n211故答案为：21114．三．解答题（共7小题）15解：由aa2200aa2+2004a＝m2，故a2+2004a+10022＝m2+10022，即（a+1002）2﹣m2＝10022，（a1002m（a100m＝102＝×50202a+1002+m，a+1002﹣m都为偶数，因为求正整数a的最大值，a+1002+m＝502002，a+1002﹣m＝2，故a＝2500此时m25100．16m44...n个，则（）×9+1＝10n，所以an＝m×10n+2m+1＝m[（）×9+1]+2m+1＝＝（m+1）2，因为m最小是4，所以m一定是整数，所以该数列的每一项都是完全平方数．17解】：①即＝，故设m＝，n＝，则b＝＝②∴3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0 ③由①（2ab）2能被509整除，而509是质数，于是2ab能被509整除，故m为整数，即关m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式Δ＝5112﹣72a为完全平方数．＝572＝tt7a＝5t（55t．511+t511﹣t511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：① 36a+2＝1022，没有整数解．② 18a+4＝1022，没有整数解．③ 12a+6＝1022，没有整数解．④ 6a+12＝1022，没有整数解．⑤ 4a+18＝1022a＝251．⑥ 2a+36＝1022a＝493493＝17×29不是质数，故舍去．a＝251．时程③解为m3或m＝舍去．把a＝251，m＝3代入②式，得b＝＝7．答：a＝251，b＝7．18解：①29﹣3n2n7n﹣（n21）（7﹣4＝n1+7n4，∵n2+9n﹣3是完全平方数，∴（n+1）2+（7n﹣4）是完全平方数，∴7n﹣4＝0，∴＝，②n9n3＝24n5n3（n4n4+5n7＝（2）（5﹣7，∵n2+9n﹣3是完全平方数，∴（n+2）2+（5n﹣7）是完全平方数，∴5n﹣7＝0，∴＝不正数不合意，③n9n3＝26n3n3（n6n9+3n12＝n3）（n﹣1，∵n2+9n﹣3是完全平方数，∴（n+3）2+（3n﹣12）是完全平方数，∴3n﹣12＝0，∴n＝4，④n9n3＝28nn3（n8n16+n﹣1＝（4）（n19，∵n2+9n﹣3是完全平方数，∴（n+4）2+（n﹣19）是完全平方数，∵n是正整数，∴n＝19，⑤n9n3＝210﹣n3（n10n25﹣n﹣2＝（5﹣n﹣2，∵n为正整数，∴﹣n﹣28＜0，综上所述，n的值为4或19．19解：设（n+）＝n1526（na）n2an+，∴15n+26＝2an+a2，∴n＝，∵n26﹣a2＞02a﹣15＞026﹣a2＜02a﹣15＜0，26﹣a2＞02a﹣15＞0a无解；26﹣a2＜02a﹣15＜06≤a≤7，a＝6，7，代入n＝验证，只有a＝7时，n＝23．即n的值为23．【解答】m﹣nmn的最大公约数的倍数（这句话应该不用解释，不理解的话就设m＝adnbdd为m和n1设为p）若最大公约数（m，n）＝1mnm，n各自为平方数，设m＝a2，n＝b2，m为小于2006的4位数所以31＜a＜45，pa﹣b（ababp所以a﹣b＝1，a+b是质数，也就是2a﹣1为质数，31＜a＜45，所以61＜2a﹣1＜89，这样的a共有34，36，37，40，42．m1156，1296，1369，1600，1764共计五种可能．若（m，n）＝p，则设m'＝，n'＝，则m﹣'＝mnpm'n'm'n'n''

n'+1）2，左边的