2025届新高考数学精准冲刺复习 两条直线的位置关系

必备知识·逐点夯实2025届新高考数学精准冲刺复习两条直线的位置关系核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【核心素养】数学运算、直观想象、逻辑推理.【命题说明】考向考法两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.预测预计2025年高考两直线平行、垂直仍会出现.一般在选择题、填空题中出现,也可能在解答题中交汇出现.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.两条直线的位置关系(1)位置关系项目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=_______________平行k1=k2,且_____重合k1=k2,且_____A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0-1A1A2+B1B2=0b1≠b2b1=b2

(2)点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=____________.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=___________.

微点拨点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.

2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,34,51.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等,则两直线平行.(

)提示:(1)两直线有可能重合,故(1)错误.(2)若l1∥l2,则k1=k2.(

)提示:(2)可能出现两直线斜率不存在情况,故(2)错误.××(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.(

)提示:(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,则该直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则该直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故(3)正确.(4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合.(

)提示:(4)两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故(4)正确.√√

核心考点·分类突破

解题技法1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1与l2平行的充要条件l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件l1与l2重合的充要条件

对点训练1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a=(

)A.0

B.1

C.-1

D.1或-1【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.

3x+4y-5=0或x=-1

解题技法距离问题的求解策略(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.

考点三对称问题考情提示对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题,其中掌握中心对称及轴对称满足的几何条件是解决此类问题的关键.角度1中心对称问题[例3]直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是_____________.

【解析】设所求直线上任一点(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.x-2y+11=0

(2,6)

x-2y+3=0

对点训练1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(

)A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0【解析】选D.设对称的