2025届新高考数学精准冲刺复习 事件的独立性、条件概率与全概率公式

必备知识·逐点夯实2025届新高考数学精准冲刺复习事件的独立性、条件概率与全概率公式核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.预测预计2025年高考中条件概率、全概率仍会出题.可能与其他知识交汇命题.必备知识·逐点夯实

P(A)P(B)

P(A)P(B|A)

3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组______________的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=_________________.我们称此公式为全概率公式.

两两互斥

类型辨析改编易错高考题号1234×√√(4)若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(

)提示:因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以(4)正确.√

核心考点·分类突破考点一

事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

解题技法两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).

角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为

;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为

.

0.50.1

解题技法求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

对点训练1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1

(2)(2024·门头沟模拟)同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知,三家产品的正品率分别为0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家产品数占比例为2∶3∶5,将三家产品混合在一起.从中任取一件,则此产品为正品的概率为

.

【解析】由全概率公式,得所求概率P(A)=0.95×0.2+0.90×0.3+0.80×0.5=0.86.0.86解题技法利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式计算.对点训练(2024·莆田模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,