临川区第一中学等高三数学4月联考试题（二）理-人教版高三数学试题

届高三年级四月份联考（二）数学（理）试卷本试卷分第=1\*ROMANI卷（选择题）和第=2\*ROMANII卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第=1\*ROMANI卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则集合=（）A．B．C．D．2．复数是纯虚数，则＝（）A． B． C． D．3．已知函数为定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④A．=1\*GB3①=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=4\*GB3④ D．=2\*GB3②=4\*GB3④4．等比数列中，，，则数列的前项和等于（）A． B． C． D．5．如图给出的是计算的值的一个框图，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．6．已知抛物线，，是抛物线上的两点，且线段的中点坐标为，则所在直线的方程为（）A． B．C． D．7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.72x＋58.4.零件数（个）1020304050加工时间71767989表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（）A.85B.868．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A．B． C． D．9．圆柱的底面半径为，其全面积是侧面积的倍。是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点，则使的概率为()A． B． C． D．10．下列四个命题中，正确的有()①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“，使得”的否定是:“对，均有”；③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；④若函数在有极值，则或.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个侧视图主视图22俯视图1111侧视图主视图22俯视图11A．B．C．D．12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A. B． C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．设向量与的夹角为，且，则__________．14．实数，满足不等式组的取值范围是_________.15．己知函数的图像上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数的取值范围为．16．在数列中，，.记是数列的前项和，则.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．（本小题满分12分）如图,是直角斜边上一点,．（Ⅰ）若,求角的大小；（Ⅱ）若,且,求的长．18．（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，∥，侧面为菱形，。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．（Ⅰ）求与的标准方程；（Ⅱ）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．21．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）讨论在上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数都有成立，求的取值范围．四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图半径为线段⊙相于点、，，⊙相交点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当时求证：.23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求与交点的极坐标；（Ⅱ）是上的任意一点，过点作与的夹角为的直线交于点．求的最大值。24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知使得关于的不等式成立．(I)求满足条件的实数的集合；(Ⅱ)若，，且对于，不等式恒成立，试求的最小值.届高三年级四月份联考（二）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.B9.C10.A11.D12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．14．15．16．三、解答题17.解：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有.因为,所以.又所以.于是,所以.……6分（Ⅱ）设,则,,.于是,,在中,由余弦定理,得,即,得.故………12分18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．………3分（II）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，的取值为0,1,2.………4分则，，，(每项2分)……………10分因此，的分布列如下：012P图19—1∴（人）图19—1（或是，因为服从超几何分布，所以（人）19．解：（Ⅰ）连接、、，设交于点，连，如图19—1所示。由，，可得≌，所以，由于是线段的中点，所以，又根据菱形的性质知，所以平面，所以，又因为∥，所以。……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由题意知平面，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图19—2所示。图19—2设图19—2由可知，，所以，从而，，，，所以。由可得，所以。设平面的一个法向量为，由，得，取，则，，所以。又平面的法向量为，所以。故平面与平面所成锐二面角的大小为．……12分20．解：（I）设椭圆的焦距为，依题意有，，解得，，故椭圆的标准方程为.

……3分又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，

，故抛物线的标准方程为.

……5分（II）显然，直线的斜率存在.设直线的方程为，设，，则，，，即

（）……7分联立，消去整理得，（）.依题意，，是方程（）的两根，，，，将和代入（）得，解得，（时直线PQ过点F，不合题意，应舍去）.……9分联立，消去整理得，，令，解得.……………10分经检验,

,

符合要求.此时，，.……12分21．解：（Ⅰ），…1分当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上恒成立，所以在上单调递减。………6分（Ⅱ）。………………7分令，，故要上式成立，只需对，有。………………8分由（Ⅰ）可知，①当时，∴在上单调递增；∴，符合题意。②当时，∴在上单调递减；∴，不符合题意。③当时，在上单调递减；∴当时，，不符合题意。④当时，在上单调递减；∴当时，不符合题意。综上可知，的取值范围为．…12分22.解：（Ⅰ）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=4，AC=2，∴，∴BD=8．…5分（Ⅱ）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=1800—∠A—∠ODC=1800—∠COD—∠OCD=∠ADO．∴AD=AO…10分23、解：（Ⅰ）将消去参数，得，所以的普通方程为：．将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得：．由解