《概率统计及其应用》课件第一章 随机事件与概率

第一节随机试验与随机事件第二节随机事件的概率第三节古典概型第四节条件概率第五节事件的独立性第一节随机试验与随机事件一、随机试验为了研究随机现象的统计规律性,对研究对象进行的大量重复观察或试验,称为随机试验.随机试验简称试验,用E表示.随机试验应具备以下三个特征:(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但在试验之前,能明确试验的所有可能结果;(3)试验之前不能确定哪一个结果会出现.二、样本空间为了研究随机试验,首先要知道这个试验的所有可能结果有哪些.随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间,一般用字母S表示,每一个可能的结果称为样本点,常用ω表示,即S={ω}.在讨论一个随机试验时,首先要确定它的样本空间,对一个具体的试验来说,其样本空间可以由试验的具体内容来确定.三、随机事件在随机试验中,人们不仅关心某个样本点是否出现,更关心满足某一特定条件的样本点是否出现.例如,在随机试验E2中,人们可能会关心“正面朝上的次数不少于两次”这一事件是否发生了,也可能关心事件“至少出现一次正面”是否发生了.满足某一特定条件的样本点构成了样本空间S的子集.一般,样本空间的子集称为随机试验的随机事件,简称事件,通常用大写字母A,B,C等来表示.在一次试验中,当且仅当出现的结果为随机事件中的某一个元素时,称这一事件发生.特别地,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间S包含所有的样本点,它是自身的子集,在每次试验中都发生,称为必然事件.空集⌀不包含任何样本点,它也是样本空间的子集,在任何一次试验中均不发生,称为不可能事件.必然事件和不可能事件都没有随机性,但为了今后研究的方便,还是把它们作为随机事件的两个极端情形来处理.四、事件的关系与运算我们已经知道了样本空间是包含了所有可能结果的集合,随机事件是样本空间的一个子集.大家知道,集合之间是可以运算的,因此随机事件之间也可以进行相应的运算.事件之间的关系与运算可按集合之间的关系与运算来处理.我们需要清楚这些关系与运算所代表的概率意义,能正确地将集合论中的符号翻译成概率论的语言.事件的关系和运算也可以用韦恩(Venn)图来形象地表示,如图1.1所示.设S为随机试验E的样本空间,A,B,Ai(i=1,2,…)是随机事件,也就是S的子集.我们用矩形表示样本空间S,用圆A与圆B分别表示事件A与B.1.事件的关系(1)包含关系(A⊂B)属于A的样本点一定属于B,则称事件B包含事件A,记为A⊂B或B⊃A.在概率论中,A⊂B表示事件A发生必导致事件B发生.(2)相等关系(A=B).若事件A,B满足:属于A的样本点必属于B,而且属于B的样本点必属于A,即A⊂B且B⊂A,则称事件A与B相等,记为A=B.从集合论观点看,两个事件相等就意味着这两个事件是同一集合.(3)互不相容关系.若AB=⌀,则称事件A与事件B互不相容(或互斥).显然,此时事件A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.2.事件的运算(1)事件A与B的并(A∪B).事件A∪B={x|x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件或并事件.当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件A∪B发生.(2)事件A与B的交(A∩B).事件A∩B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与B的交事件或积事件.当且仅当两个事件A与B都发生时,事件A∩B发生.A∩B也记作AB.(3)事件A与B的差(A-B)事件A-B={x|x∈A且x∉B}称为事件A与B的差事件.当且仅当事件A发生且B不发生时,事件A-B发生.(4)对立关系:若AB=⌀且A∪B=S,则称事件A与事件B为对立关系,又称事件A与事件B互为(对立)逆事件.这指的是事件A,B在一次试验中要么A发生,要么B发生,两事件中有且仅有一个发生.五、事件的运算规律我们已经看到事件的运算实际上就是集合的运算,因此,事件的运算和集合的运算满足一样的运算规律.设A,B,C为事件,则有(1)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)对偶律:第二节随机事件的概率一、频率定义1在相同的条件下,进行n次重复试验,设在n次重复试验中事件A发生了nA次,比值称为事件A在这n次试验中发生的频率,记作fn(A),即由频率的定义易见,频率具有以下基本性质:(1)非负性:fn(A)≥0.(2)规范性:fn(S)=1.(3)有限可加性:若A1,A2,…,Am两两不相容,则二、概率在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率fn(A)所稳定的常数,称为事件A的概率.定义2设S是随机试验E的样本空间.如果对于其中每一个事件A,存在一个实数P(A),其满足下列条件:(1)非负性:对于任意事件A,总有P(A)≥0;(2)规范性:对于必然事件S,P(S)=1;(3)可列可加性:若事件A1,A2,…,An,…两两不相容,则则称P(A)为事件A的概率.该定义称为概率的公理化定义,这三条性质是概率的三个基本属性,概率论的全部理论都是建立在上面的三条公理的基础之上的.由上述的定义可以推出概率的一些重要性质:性质1不可能事件的概率为0,即P(⌀)=0.性质2有限可加性:对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,有性质3对任意一个事件A,有性质4当事件A,B满足B⊂A时,

P(A-B)=P(A)-P(B)

P(A)≥P(B)性质5对于任一事件B,总有P(B)≤1性质6任意事件A,B满足加法公式,即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).第三节古典概型如果一个随机试验满足:(1)样本空间中的样本点个数有限(有限性);(2)每个基本事件的发生等可能(等可能性).一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型或等可能概型.在实际应用中,我们需要根据实际情况去判断基本事件是否等可能发生.设古典概型的样本空间S包含n个样本点,随机事件A中含有k(k≤n)个样本点,则随机事件A发生的概率为因此要计算古典概型中任一随机事件的概率,关键是要计算样本空间所包含的样本点个数和该随机事件所含的样本点个数,这些计算常常需要利用排列组合的知识.第四节条件概率一、条件概率在研究概率问题时,有时要考虑在事件B发生的条件下事件A发生的概率,记作P(A|B).定义1设A,B是两个事件,且P(B)>0,称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.二、条件概率的三大计算公式1.乘法公式由条件概率的定义可得到一个非常有用的公式,这就是概率的乘法公式.乘法公式设A,B是两个事件,且P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(A|B)(1-3)类似地,若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)

(1-4)乘法公式可以推广到有限多个事件的情形,如果A1,A2,…,An为n个事件,且P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)特别地,对于A,B,C三个事件,当P(AB)>0时,有P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)2.全概率公式将复杂事件分解成一些较容易计算的情况分别进行考虑,可以化繁为简,这就是全概率公式的思想.(i)完备事件组设S是随机试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn是S的一组随机事件,满足(1)BiBj=⌀(i≠j,i,j=1,2,…,n);(2)∪ni=1Bi=S.则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个完备事件组.若B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个完备事件组,那么,对于每次试验,事件B1,B2,…,Bn中必有一个且仅有一个发生.(ii)定理1设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个完备事件组,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)则对于任意的随机事件A,有我们称式(15)为全概率公式.利用全概率公式可以将求复杂事件的概率问题分为若干互不相容的简单事件的概率问题来处理.3.贝叶斯公式贝叶斯(Bayes)公式设B1,B2,…,Bn为S的一个完备事件组,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对于任意的随机事件A,有贝叶斯公式又称为逆概率公式,在概率论与数理统计中有多方面的应用.这里B1,B2,…,Bn可以看作导致A发生的“原因”.P(Bi|A)是在事件A发生的条件下,某个“原因”Bi发生的概率,称为“后验概率”;P(Bi)称为“先验概率”.贝叶斯公式的意义在于:在出现一个新的补充事件条件下,重新修正对原有事件Bi的概率的估计,计算出后验概率P(Bi|A).第五节事件的独立性事件的独立性是概率论中的一个重要概念,两个事件之间的独立性是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率.一、两事件的独立性定义1设A,B为两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立,简称A与B独立.按照这个定义,必然事件S和不可能事件⌀与任何事件独立.此外,由于A与B的位置对称,如果A与B相互独立,则B与A也相互独立.结论1设A,B为两事件,且P(B)>0,则A与B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A).同理,若P(A)>0,则A与B相互独的充要条件是令P(B)=P(BA).结论2若A,B相互独立,则与B,A与,与也相互独立.结论3若P(A|B)=P(A|),则A与B相互独立.二、n个事件的独立性定义2设有n个事件A1,A2,…,An,对于任意的整数k(k≤n),k=2,3,…,n都有P(Ai1,Ai2,…,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),且1≤i1<i2…<ik≤n

(1-8)则称A1,A2,…,An相互独立.特别地,若n=3,则A,B,C三个事件相互独立需满足以下等式:由上面4个等式容易看