函数的奇偶性高一上学期数学人教B版（2019）必修一

姓名：年级：高一数学学科：高中数学必修一版本：人民教育出版社B版工作单位：课程名称：函数奇偶性第三章函数3.1.3

函数的奇偶性【学习目标】目标1、通过观察具体函数的图象，能从对称的角度说出图象特征，并能结合图象特征探究出该函数中f(x)与f(-x)的数量关系；目标2、能根据f(x)=f(-x)的数量关系，用较准确的语言叙述偶函数的定义，并通过对具体问题的思考说出偶函数的定义域特点；目标3、能类比偶函数的探究方法，结合所给函数的图象特征探究出f(x)=f(-x)的数量关系，并能用准确的语言叙述奇函数的定义；目标4、能运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性；目标5、能简单运用奇偶性图像的对称性解决问题。【重难点】1、突出重点：能探究出偶（奇）函数的定义，能观察出偶（奇）函数的图象特征。2、突破难点：会判断函数奇偶性并能利用定义解决简单问题。一、函数的奇偶性

初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）.例如，（-2，3）关于y轴的对称点为，关于原点的对称点为（2，3）

（2，-3）尝试与发现

填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。x-3-2-1123f(x)=x2

g(x)=

尝试与发现

填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。x-3-2-1123f(x)=x2

9

4

1

1

4

9g(x)=

1

1定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），则称y=f（x）为

，

偶函数

如果y=f（x）是偶函数，其图像具有什么特征呢？

我们知道，点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数。如下图所示是尝试与发现中两个函数的图像.尝试与发现

按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图像的特征：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有

，且

,则称y=f（x）为奇函数.

-x∈Df(-x)=-f(x)

奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，如果y=f（x）是奇函数，则点Q又可以写成Q（-x，-f（x）），因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数。如下图所示是奇函数f（x）=x3和g（x）=的图像.

如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）=x2n是

函数，函数g（x）=x2n-1是

函数.偶奇例1判断下列函数是否具有奇偶性：（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x+1；（4）f（x）=x2，x∈[-1，3]典型例题（2）函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），所以函数f（x）=x2+1是偶函数（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，-x∈R.又因为f（-1）=0，f（1）=2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），因此函数f（x）=x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f（x）是非奇非偶函数）

4）因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3∉[-1，3]，所以函数f（x）=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数例1（4）说明，设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D