第3章 时域分析法

国家精品课程自动控制原理PrinciplesofAutomaticControl《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所2《自动控制原理》国家精品课程网站

06/zdkz/index.asp

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所3系统（机械，电气，过程等）建模方法机理或实验数学模型（Tf,Ss,Zpk)性能分析稳定性、动态性能、鲁棒性等若性能不满足要求对系统进行校正校正方法（控制器设计方法）滞后-超前、PID、LQ最优等

第3章时域分析法《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所4本章的主要内容3.1稳定性分析3.2暂态性能分析3.3稳定性能分析3.4MATLAB辅助分析控制系统时域性能《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所5本章的主要内容3.1稳定性分析3.2暂态性能分析3.3稳定性能分析3.4MATLAB辅助分析控制系统时域性能《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所6

3.1

稳定性分析系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所73.1.1稳定性的概念欧氏范数的概念1.向量的范数2.矩阵的范数《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所8系统的平衡状态系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。一般非线性系统的平衡状态：线性系统的平衡状态

对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。线性系统通常《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所9设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为系统的特征方程为系统的脉冲响应为

系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者都位于复平面左半部。

3.1.2系统稳定的条件《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所10系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：从检查系统稳定性角度，稳定性必要条件有时是很有用的。系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号，而且都不为零。系统稳定性必要条件稳定性的代数稳定判据李雅普诺夫稳定判据

奈奎斯特稳定判据

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所11

设闭环系统的特征方程为劳斯表劳思稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳思表的第一列数的符号相同。而且，系统正实部特征根的个数等于劳思表第一列数的符号变化次数。

3.1.3劳斯稳定判据《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所12直至其余全为0。直至其余全为0。劳斯表构成：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所13

例3.2已知系统的特征方程为用劳思稳定判据判别系统稳定性。

劳思表构成如下：因为劳斯表第一列数符号相同，所以系统是稳定的。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所14例3.3已知系统的特征方程为

用劳思稳定判据判别系统稳定性。

特征方程系数的符号不相同，不满足稳定的必要条件，所以系统是不稳定的。

特征方程系数的符号不相同，不满足稳定的必要条件，所以系统是不稳定的。因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所15用一个很小的正数（也可以是负数）

例3.4已知系统的特征方程为用劳思稳定判据判别系统稳定性。劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。然后继续列劳思表。特殊情况（1）：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不为0。解决办法：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所16用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0一行的数，继续列劳斯表。

例3.4已知系统的特征方程为用劳思稳定判据判别系统稳定性。因劳思表第一列数符号变化1次，故系统是不稳定的，有1个特征根在右半S平面。求解辅助方程可得系统对称于原点的特征根为特殊情况（2）：劳思表中某一行的数全为0解决办法：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所17

例3.6图示系统中，确定系统稳定的参数的取值范围。

解系统的开环传递函数为特征方程为劳思表构成如下：由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所18要使系统稳定得例确定系统稳定的K、T值。系统的特征方程为列劳斯表，则稳定条件为：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19列劳斯表例设系统特征方程为

试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线

与虚轴之间。代入原特征方程，得到如下特征方程：劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一个特征方程根在垂线右边。劳斯表第一列无符号变化，系统稳定。列劳斯表《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所20本章的主要内容3.1稳定性分析3.2暂态性能分析3.3稳定性能分析3.4MATLAB辅助分析控制系统时域性能《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所213.2暂态性能分析（1）阶跃信号（2）速度信号（斜坡信号）3.2.1典型输入信号《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所22（3）加速度信号（抛物线信号）（4）脉冲信号《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所23（5）正弦信号《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所243.2.2暂态性能指标

利用系统的单位阶跃响应曲线的特征来定义控制系统的动态性能指标,直观，含义清楚。控制系统单位阶跃输入单位阶跃响应初始条件为零

10《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所255%的稳态值响应稳态值典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所26（1）（最大）超调量

5%的稳态值响应稳态值3.2.2暂态性能指标《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所27系统对于超调量的要求对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度跟踪特性较好。对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。机床刀架系统。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所285%的稳态值响应稳态值（2）（最大）超调时间

（3）上升时间

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所29

（4）调节时间

5%的稳态值响应稳态值《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所30典型的单位阶跃响应曲线（非衰减振荡形式）90%的稳态值《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所313.2.3一阶系统的暂态性能分析

为什么要研究典型系统的性能分析？现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为典型的系统，以便于系统的分析与设计。在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。分析和理解高阶系统的动态响应的基础。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所32一阶系统R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)微分方程：传递函数：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所33Kt一阶系统的单位阶跃响应：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所34Kt2.3T3T一阶系统的动态性能指标

（1）上升时间（2）调节时间

95%《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所35

设K=1，取不同的时间常数T,对于系统单位阶跃响应的影响。T=1T=3T=7T=9T=5t参数K，T对于一阶系统单位阶跃响应的影响《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所36设T=3，取不同的K，对于系统单位阶跃响应的影响。K=10K=7K=4K=1tKT《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所37小结：一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的。因而，不存在超调量。可以用上升时间或者调节时间来作为动态性能指标。为了提高一阶系统的快速响应和跟踪能力，应该减少系统的时间常数T。

单位阶跃输入，一阶系统的稳态响应值为K，稳态值与T无关。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所38

3.2.4典型二阶系统的暂态性能

为系统的阻尼比，为无阻尼自然振荡频率。1、典型二阶系统的数学模型：二阶系统R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所392、典型二阶系统的单位阶跃响应特征根的分布主要取决于系统的阻尼比（1）过阻尼状态（2）临界阻尼状态（3）欠阻尼状态

（4）无阻尼状态（5）（5）负阻尼状态典型二阶系统的特征方程：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所40系统有两个稳定的互为共轭的极点：极点分布位置和大小由阻尼比和无阻尼振荡频率决定。（试讨论他们对于极点位置，以及单位阶跃响应的影响）5%的稳态值响应稳态值重点考虑欠阻尼状况《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所41欠阻尼状态下，系统的单位阶跃响应为：在欠阻尼情况下，系统的单位阶跃响应具有衰减振荡形式。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所42

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所43t《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所44欠阻尼典型二阶系统暂态性能分析5%的稳态值响应稳态值（1）上升时间

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所45（2）超调时间

5%的稳态值响应稳态值《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所46（3）超调量

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所47（4）调节时间

5%的稳态值响应稳态值一般将系统设计成欠阻尼状态，以提高系统响应的快速性。上述公式很重要，要求熟记。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所48小结：当时，系统的输出为正弦曲线。这种情况称为无阻尼振荡，系统处于临界稳定状态。当时，系统为欠阻尼振荡状态。增加，将减少系统的振荡，减少超调量；但上升时间、调节时间加大。当时，系统为临界阻尼状态，这是总能保持系统的输出值小于1的最小阻尼值。当时，系统为过阻尼状态，在增加时系统的响应减慢。当自然频率增加时，系统的响应速度加快但是系统响应的峰值保持不变，超调量由阻尼系数唯一确定。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所49计算举例如图所示典型二阶系统，求

－《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所50计算举例设计图示系统具有如下的动态性能指标：超调量20%，超调时间为1秒。试确定系统参数K和A。As)1(+ssK)(sR)(sC《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所51解答：系统的闭环传递函数为：

系统为典型的二阶系统。化为标准形式《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所52As)1(+ssK)(sR)(sC

增加速度反馈环节可以提高系统的稳定性，减少超调量，减少振荡次数，但系统的快速性略为减低。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所533.2.5高阶系统的暂态性能近似分析高阶系统的闭环传递函数一般表示为：

设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为：

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所54对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所55-1-5例

：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所56-10-1例

：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所57例

：《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所58结论：1）若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。2）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。

忽略上述两类极点所引起的暂态分量后，一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用，这些极点通常称为主导极点。0(a)(b)][S0][S0][S（c)《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所59本章的主要内容

稳定性分析暂态性能分析稳态性能分析

MATLAB辅助分析控制系统时域性能《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所60

3.3稳态性能分析3.3.1控制系统误差与稳态误差的定义《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所61

3.3.2控制系统型号或无差度的定义系统跟踪输入信号的能力主要取决于开环传递函数中所包含的积分环节的数目。0型系统V型系统《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所62

3.3.3终值定理法终值定理：设

且在右半平面与虚轴上没有极点，则

终值定理法：设在右半平面及虚轴上（除原点外）没有极点，为则稳态误差的终值《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所63

例3.11

已知单位反馈系统的开环传递函数为

求当系统输入分别为阶跃、速度、加速度时的稳态误差。满足终值定理条件

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所64满足终值定理条件《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所65《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所66

例3.12

已知单位反馈系统的开环传递函数为，时，求系统的稳态误差。当《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所67在虚轴上存在极点，不满足终值定理条件，不能用终值定理求系统稳态误差。应用终值定理求稳态误差时，一定要注意条件

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所68

对于正弦输入下的稳态误差，可以用频率特性求取

《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所69

例3.13

已知单位反馈系统的开环传函为求速度输入时的稳态误差可用劳思判据判断是否满足终值定理条件经检验，满足终值定理的条件《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所70

3.3.4误差系数法阶跃输入对0型系统对1型或高于1型的系统《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所712斜坡输入对1型系统对0型系统对2型或高于2型的系统《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所723抛物线输入对0型系统对1型系统对2型系统

对3型系统或高于3型的系统《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所73表3.1典型输入信号作用下的稳态误差终值《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所74

3.3.5扰动作用下的稳态误差分析《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所75《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所76

的积分环节数和传递系数有关。而参考输入下的稳态误差则与系统开环传递函数当扰动为阶跃信号时，当扰动为速度信号时，当扰动为加速度信号时，扰动作用下的稳态误差只与扰动作用点之前的传递函数