椭圆及其性质知识点题型总结

椭圆知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；〔时为线段，无轨迹〕。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|，0＜e＜1的常数。〔为抛物线；为双曲线〕〔利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线〕.2标准方程：〔1〕焦点在x轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕；焦点F1〔－c，0〕，F2〔c，0〕。其中〔一个三角形〕〔2〕焦点在y轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕；焦点F1〔0，－c〕，F2〔0，c〕。其中注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1〔A＞0，B＞0，A≠B〕，当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3参数方程：焦点在x轴，〔为参数〕4一般方程：5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕有以下性质：坐标系下的性质：范围：|x|≤a，|y|≤b；对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O〔0，0〕；顶点：A1〔-a，0〕，A2〔a，0〕，B1〔0，-b〕，B2〔0，b〕，长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；〔半长轴长，半短轴长〕；=4\*GB3④椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离〔焦参数〕椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称=5\*GB3⑤焦半径公式：P〔x0，y0〕为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0，左加右减，上减下加=6\*GB3⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=平面几何性质：=7\*GB3⑦离心率：e=〔焦距与长轴长之比〕；越大越扁，是圆。=8\*GB3⑧焦准距；准线间距=9\*GB3⑨两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：〔a＞b＞0〕的性质可类似的给出。6．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：＝r1r2sin＝·2c|y0|=c|y0|=(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆〔a＞b＞0〕的共焦点椭圆设为8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式：〔a,b,c为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球〔小球的半径不计〕，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是〔〕OxyDPAOxyDPABCQ例2.点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。题型2求椭圆的标准方程例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率〔或范围〕例4.在中，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率．题型2:椭圆的其他几何性质的运用〔范围、对称性等〕例5.实数满足,求的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．题型2.1、的最值假设A为椭圆内一定点〔异于焦点〕，P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例7.椭圆内有一点A〔2，1〕，F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。2、的最值假设A为椭圆C内一定点〔异于焦点〕，P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8椭圆内有一点A〔2，1〕，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。3、的最值假设A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例9.椭圆外一点A〔5，6〕，为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。考点四直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1)常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。〔a,b,c为方程的系数〕例11.直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设为AB的中点。两式相减，3.得出注：一般的，对椭圆上弦及中点，，有例12.椭圆，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，那么通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：考点六综合性问题，与平面向量结合〔2011四川卷理〕〔本小题总分值12分〕椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(I)当|CD|=时，求直线l的方程；(II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值。解：由可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率．那么的方程为或为所求．〔Ⅱ〕当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为，，所以点坐标为．设，，由〔Ⅰ〕知，，直线的方程为，直线的方程为将两直线方程联立，消去得．因为，所以与异号．．又．与异号，与同号，，解得因此点坐标为，故为定值．〔2013四川卷理〕〔本小题总分值12分〕椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．解：(1)由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝，所以.又由，c＝1.所以椭圆C的离心率.(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.设点Q的坐标为(x，y)．(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，那么|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22.又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.由，得，即.①将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，代入①中并化简，得.③因为