导数的计算高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修二册

§3计算导数1.导数

当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值①,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作

复习引入2.导数的几何意义

函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.1.掌握导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.(重点)2.会求函数的导数.(重点)3.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.课标要求素养要求1.通过常用导数的推导的学习,培养数学运算等核心素养.2.借助基本初等函数的导数的计算,提升数学运算、逻辑推理等核心素养.探究点1计算函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤例1

已知一个运动物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s=s(t)=2t2.求s'(5),并解释它的实际意义.探究导学解:Δs=s(5+Δt)−s(5)=2(5+Δt)2−2×52=2[10Δt+(Δt)²]

当Δt趋于0时,得到导数s'(5)=20(m/s).导数s'(5)表示的是物体在第5秒时的瞬时速度,即物体在第5秒时的瞬时速度为20m/s.计算函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤(1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量

Δy=f(x0+Δx)−f(x0).(2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率(3)当Δx趋于0时,得到导数例2求函数y=f(x)=+x在下列各点处的导数:(1)x=l; (2)x=x0.

解(1)Δy=f(1+Δx)−f(1)=+(1+Δx)−(+1)=.当Δx趋于0时,得到导数f'(1)=例2求函数y=f(x)=+x在下列各点处的导数:(1)x=l; (2)x=x0.

当Δx趋于0时,得到导数f'(x0)=解(2)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=+(x0+Δx)−()=探究点2导数函数例2中的函数f(x)=

+x对于定义域中的每一个自变量的取值x0,都有唯一一个导数值f'(x0)=+1与之对应,所以f'(x)=+1是x的函数.导函数一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'.例如,由例2可知函数f(x)=+x的导数为f'(x)=+1.显然,前面求f(x)=+x在x=1,x0各点的导数就是导数f'(x)=+1在各点处的函数值.

中学阶段,重要的是理解导数概念及其实际意义,并利用它们去思考、分析和解决一些问题.

为了解决可能遇到的导数计算问题,下面给出了一个简单的导数公式表(表2−5)列出了学过的基本初等函数的导数.以后,遇到求这些函数导数的问题时,可以直接查表.例3

求y=f(x)=3x2−x

的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(1),f'(−2),f'(0).

可得f'(1)=6×1−1=5,f'(−2)=6×(−2)−1=−13,f'(0)=6×0−1=−11.应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用的求导方法.2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式.有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样能够简化运算过程.课堂小结2.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c,则f'(x)=0.(2)若f(x)=xα(α∈Q﹡),则f'(x)=αxα−1.(3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx.(4)若f(x)=cosx,则f'(x)=−sinx.(5)若f(x)=ax,则f'(x)=axlna(a>0).(6)若f(x)=ex,则f'(x)=ex1.会求常用函数的导数.(7)若f(x)=logax,则f'(x)=(8)若f