集合的概念高一上学期数学人教A版（2019）必修一

1.1集合的概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如自然数的集合（数集），同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（点集），不等式x-7<3的解的集合（解集）……问题1什么是集合？探究1（1）1~10之间的所有偶数；（2）海南中学美伦校区今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；（5）方程的所有实数根；（6）地球上的四大洋.集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素.通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示问题2组成集合的元素可以是数、人、图、点、物等，它是毫无规律的吗？如果不是，那它具备什么性质呢？探究21.“1~10之间的所有偶数中较小的数”能否组成一个集合？不能；因为其中的元素是不确定的。由此说明了什么？

“较小的数”是一个模糊的概念，具有相对性，多小的数才算“较小的数”？没有明确的标准，也就是说是一些不能够确定的对象，因此不能构成集合。给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。探究22.由1,3,0,5,|-3|这几个数组成的集合中有5个元素。这句话对不对？不对；因为3和|-3|是重复的数字，所以这个集合中只有4个元素。由此说明了什么？3和|-3|是重复的数字，所以这算是同一个元素，说明一个集合中重复的元素只能算一个。一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。探究23.咱们班的全体同学组成一个集合，调整座位后，这个集合有没有变化？没有。由此说明了什么？咱们班同学换座位后，这个集合还是保持不变。因此集合中的元素是没有排列顺序的，集合中的元素改变先后顺序不会改变这个集合。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。练习练习1.下列不能组成集合的是（）A.海南中学美伦校区高一（2）班的全体同学。B.海南中学美伦校区高一年级所有性格开朗的同学。C.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点。D.近似值为1的实数。E.满足3x-2>x+3的全体实数。F.数组1,1,2,3,5,8,13。练习2.已知集合M中的三个元素a，b，c分别是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形B、D、FD问题3集合间元素的特征是元素与元素的关系，那么元素与集合间又有什么关系呢？探究3在例（1）“1~10之间的所有偶数”组成的集合中“3”是里面的元素吗？“4”是吗？不是；是.由集合中元素的确定性可知，对给定的集合，一个元素只有两种状态：在或不在这个集合中。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.问题4为了方便描述，数学中一些常用的术语经常用一些符号表示，如"<"、"≌"、"△"等.那么一些常用的数集能不能用一些大家约定俗成，全部人都认可的符号表示呢？全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z;全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.练习练习3.(1)3.14_______Q(2)π_______Q(3)0_______N(4)0_______N+

(5)(-0.5)0_______Z(6)2_______R练习4.若a是R的元素，但不是Q的元素，则a一定是（）A、整数B、分数C、无理数D、质数C问题5集合是为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围的语言和工具，那这个数学语言该如何规范呢？探究5（1）1~10之间的所有偶数；（2）海南中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；（5）方程的所有实数根；（6）地球上的四大洋.我们可以用自然语言描述一个集合探究5“1~10之间的所有偶数”组成的集合，里面的元素是确定的，即2、4、6、8、10五个，我们可不可以用这几个元素来表示这个集合呢？我们可以表示为{2,4,6,8,10}.像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意："{}"有集合的整体含义，实数集R可以表示为{实数}，但不可以表示为{实数集}、{所有实数}、{R}等.练习练习5.用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0,1}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例（1）的集合还可以写成A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}等.但是为了清晰直观一般按一定顺序书写，特别是元素较多的集合.问题6（1）你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？（2）你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？不等式x-7<3的解为x<10，因为满足这个条件的实数由无数个，所以无法用列举法表示。但我们可以用解集中元素的共同特征表示。如：x为实数，且x<10{x∈R|x<10}一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.这种表示集合的方法称为描述法注意：{x∈A|P(x)}描述法表示同一个集合可能有多种表示方法，一般选取较为简洁的记法。如果出现新字母应有解释，所有描述内容都在花括号内。元素的一般符号及取值(或变化)范围元素所具有的共同特征练习1.奇数集如何用描述法表示？解：{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.2.有理数集如何用描述法表示？解：{x∈R|x=q/p,p,q∈Z,p≠0}.你能说出列举法和描述法的优缺点吗？优点缺点列举法直观、明了不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示描述法把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点不易看出集合的具体元素思考练习3.是同一个集合吗？如果不是，它们分别代表什么？解：不是；{x|x≥1}，{x|x≥0}，的函数图像上的所有点.4.试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合B.解:(1)A={√2,-√2}={x|x2-2=0}(2)B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}={x∈Z|10<x<20}.练习5.用适当的方法表示下列集合.