《三维设计》高三数学 第4章 第2节 课时限时检测 新人教A版

第4章第2节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知命题：“若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0”是真命题，则下面对a、b的判断正确的是()A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a、b不共线时，k1＝k2＝0.答案：B2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)解析：设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))即点D坐标为(2，eq\f(7,2))．答案：A3．已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，则向量a＋b所在的直线可能为()A．x轴 B．第一、三象限的角平分线C．y轴 D．第二、四象限的角平分线解析：a＋b＝(1，－m)＋(m2，m)＝(m2＋1,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a＋b所在的直线可能为x轴．答案：A4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：＝－＝(－3,2)，∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)，∴＝3＝(－6,21)．答案：B5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：由已知得DE＝eq\f(1,3)EB，又△DEF∽△BEA，∴DF＝eq\f(1,3)AB，即DF＝eq\f(1,3)DC，∴CF＝eq\f(2,3)CD，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(－)＝eq\f(2,3)(eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a)＝eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a，∴＝＋＝a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B6．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1解析：若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：设D点的坐标为(x，y)，由题意知＝，即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)．答案：(0，－2)8．已知点A(1，－2)，若点A、B的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由A、B的中点坐标为(3,1)可知B(5,4)，所以＝(4,6)，又∴∥a，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3λ1＝－2＋4λ2,2＋4λ1＝－2＋5λ2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1,λ2＝0))，∴M∩N＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.解：由已知得：＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设＋＋＝λ1＋λ2，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝－12，,3λ1＋4λ2＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝32，,λ2＝－22，))∴＋＋＝32－22.11．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A、B、C三点共线，∴∥，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝4,b－1＝－4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝－3))，∴点C的坐标为(5，－3)．12．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝(cos2B,2cos2eq\f(B,2)－1)，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．解：(1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2eq\f(B,2)－1)＝－eq\r(3)cos2B，∴sin2B＝－eq\r(3)cos2B，即tan2B＝－eq\r(3).又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2，由余弦定理cosB＝eq\f(