2025届新高考数学冲刺精准复习 球的接、切、截问题

2025届新高考数学冲刺精准复习球的接、切、截问题01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解有关球与其他组合体的接、切、截的背景；掌握与

球有关的接、切、截问题的处理方法.【考情概述】空间几何体的外接球、内切球、截面等问题是新高考考

查内容之一，常以选择题、填空题的形式进行考查，难度略大，属于高

频考点，也是新高考的热点问题.

知识梳理1.球的截面（1）

球的截面都是

⁠.（2）

球心与截面圆心的连线

于截面.（3）

记球的半径为

R

，截面圆的半径为

r

，球心到截面的距离为

d

，

则

⁠.圆垂直R

2＝

r

2＋

d

2

2.空间几何体的外接球（1）

几何体的外接球的球心到各顶点的距离

.

（2）

几何体的外接球的球心与底面外接圆的圆心的连线

⁠

于底面，即外接球的球心落在垂直于底面且过底面外接圆圆心

的

上.3.空间几何体的内切球（1）

内切球：球在几何体内部，与其所有侧面

.

（2）

求内切球半径常用

法.相等垂直直线相切体积分割常用结论1.记正方体的棱长为

a

，球的半径为

R

.

（1）

若球为正方体的外接球，则2

R

＝

⁠；（2）

若球为正方体的内切球，则2

R

＝

⁠；（3）

若球与正方体的各棱相切，则2

R

＝

.

a

2.记正四面体的棱长为

a

，则（1）

正四面体的外接球的半径

R

＝

⁠；（2）

正四面体的内切球的半径

r

＝

⁠；（3）

R

∶

r

＝

⁠.

3∶1

回归课本1.判断：（1）

（RA二P111定义改编）画球的直观图，一般需要画出球的轮廓

线，它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是

椭圆.

（

√

）（2）

（RA二P118定义改编）对于多面体，若有内切球，则球心到切点

的距离相等且为半径；若有外接球，则球心到所有顶点的距离相等且为

半径.

（

√

）√√

√√2.（RA二P120习题8.3第5题改编）棱长为

a

的正方体的顶点都在球面

上，则球的体积为（

A

）3.（RA二P119例4改编）若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球

与圆柱的体积之比是（

D

）AD4.（多选）（RA二P118定义改编）已知球的半径为2，则下列关于球的

说法正确的是（

ACD

）A.若球的半径变为原来的3倍，则它的体积变为288πB.球的内接长方体的表面积为定值C.用一个平面截球，所得的最大圆的面积为4πACD5.（RA二P119练习第4题改编）在封闭的直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1内有

一个体积为

V

的球.若

AB

⊥

BC

，

AB

＝6，

BC

＝8，

AA

1＝3，则

V

的最

大值为

⁠.

A.2πB.4πC.6πD.8πC解：本题可采用补形法，考虑到四面体

A

－

BCD

的对棱相等，所以将

四面体放入一个长、宽、高分别为

x

，

y

，

z

的长方体中，并且

x

2＋

y

2

＝3，

x

2＋

z

2＝5，

y

2＋

z

2＝4.设四面体

A

－

BCD

的外接球的半径为

R

，

即长方体的外接球的半径为

R

，所以（2

R

）2＝

x

2＋

y

2＋

z

2＝6，即4

R

2

＝6.所以四面体

A

－

BCD

的外接球的表面积为4π

R

2＝6π.（2）

已知∠

ABC

＝90°，

PA

⊥平面

ABC

.

若

PA

＝

AB

＝

BC

＝1，则四

面体

P

－

ABC

外接球的体积为（

D

）A.πC.2πD

（3）

在矩形

ABCD

中，

BC

＝4，

M

为

BC

的中点，将△

ABM

和△

DCM

分别沿

AM

，

DM

翻折，使点

B

与点

C

重合于点

P

.

若∠

APD

＝150°，

则三棱锥

M

－

PAD

的外接球的表面积为（

C

）A.12πB.34πC.68πD.126πC总结提炼

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方

法有如下几种：（1）

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间

问题转化为平面问题求解.（2）

若球面上四点

P

，

A

，

B

，

C

构成的三条线段

PA

，

PB

，

PC

两两

垂直，且

PA

＝

a

，

PB

＝

b

，

PC

＝

c

，一般把有关元素“补形”成为一

个球内接长方体，根据4

R

2＝

a

2＋

b

2＋

c

2求解.（3）

利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、

外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与

该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.[对点训练]（2023·长春一模）如图，两个全等的矩形

ABCD

与

ABEF

所在的平面互

相垂直，

AB

＝2，

BC

＝1，

P

为线段

CD

上的动点，则三棱锥

P

－

ABE

的外接球体积的最小值为（

C

）C

1.已知底面边长为

a

的正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的六个顶点都在球

O

1

上，又知球

O

2与此正三棱柱的5个面都相切，分别求出球

O

1与球

O

2的

表面积之比与体积之比.[拓展探究]

考点三

球的截面、截线问题例3球

O

与棱长为2的正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的各个面都相切，

M

为棱

DD

1的中点，则平面

ACM

截球

O

所得截面的面积为（

D

）B.πD

总结提炼

与球截面有关的解题策略（1）

定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如

果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.（2）

作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

[拓展探究]

对接高考（2023·