2025届新高考数学冲刺精准复习 直线的倾斜角、斜率、方程及两条直线的位置关系

2025届新高考数学冲刺精准复习直线的倾斜角、斜率、方程及两条直线的位置关系01知识体系02考情回顾03课前自学目录04课堂导学【单元概述】圆锥曲线的研究方法是数形结合和坐标法.研究过程：

曲线的几何特征→曲线的标准方程→通过方程研究曲线的性质→应用.

以椭圆为重点，强调它的典型示范作用，注重数学思想和基本方法的引

领性，双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷高考预测2023第5题椭圆的离心率第16题双曲线的性质第22题（1）轨迹方

程；（2）抛物线的性质第5题直线与椭圆的位置关系第10题直线与抛物线的位置关系第21题直线与圆锥曲线的综合1.重点：圆锥曲线的概念与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系及综合问题.2.热点：用方程的观点解决直线和圆锥曲线的位置关系问题.3.关注点：解析几何中的几何性质，斜率问题，面积问题等.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷高考预测2022第11题直线与抛物线

的位置关系第16题直线与椭圆的

综合应用第21题直线与双曲线第10题抛物线的几何性质第16题椭圆的标准方程及性质第21题直线与双曲线的位置关系1.重点：圆锥曲线的概念与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系及综合问题.2.热点：用方程的观点解决直线和圆锥曲线的位置关系问题.3.关注点：解析几何中的几何性质，斜率问题，面积问题等.2021第5题椭圆的简单性

质第14题抛物线的简单

性质第21题双曲线的定义

及标准方程第3题抛物线的简单性质第13题双曲线的渐近线第20题椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系【课时目标】理解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握过两点的直线的

斜率公式.【考情概述】直线是解析几何中最基本的研究对象，高考中一般

不对其单独考查，多与圆锥曲线等交汇考查，难度中等以下，属于

高频考点.

知识梳理1.直线的倾斜角与斜率条件公式直线的倾斜角为θ，且θ≠90°

k

＝

⁠直线过点

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2），且

x

1≠

x

2

k

＝

⁠直线

Ax

＋

By

＋

C

＝0（

B

≠0）

k

＝

⁠tanθ

2.直线方程的几种常见形式名称方程形式适用条件点斜

式

y

－

y

0＝

k

（

x

－

x

0）不能表示

⁠的直线斜截

式

y

＝

kx

＋

b

两点

式不能表示

⁠的直线斜率不存在平行于坐标轴名称方程形式适用条件截距

式不能表示

⁠的直线

和

⁠的直线一般

式

Ax

＋

By

＋

C

＝0（

A

，

B

不

同时为零）可以表示所有类型的直线平行于坐标轴过原点3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线

l

1，

l

2，斜率分别为

k

1，

k

2平行

k

1＝

k

2

k

1与

k

2都不存在垂直

k

1

k

2＝－1

k

1与

k

2一个为零、另一个

不存在k

1＝

k

2k

1

k

2＝－14.三种距离点

点

距点

P

1（

x

1，

y

1），

P

2（

x

2，

y

2）间

的距离｜

P

1

P

2｜

＝⁠

⁠点

线

距点

P

0（

x

0，

y

0）到直线

l

：

Ax

＋

By

＋

C

＝0的距离

d

＝

⁠线

线

距两条平行线

Ax

＋

By

＋

C

1＝0与

Ax

＋

By

＋

C

2＝0间的距离

d

＝

⁠

常用结论1.直线

l

1：

A

1

x

＋

B

1

y

＋

C

1＝0与直线

l

2：

A

2

x

＋

B

2

y

＋

C

2＝0平行或重

合的充要条件是

⁠.2.直线

l

1：

A

1

x

＋

B

1

y

＋

C

1＝0与直线

l

2：

A

2

x

＋

B

2

y

＋

C

2＝0垂直的充

要条件是

⁠.3.与直线

Ax

＋

By

＋

C

＝0平行的直线系方程是

⁠

；与直线

Ax

＋

By

＋

C

＝0垂直的直线系方程是

⁠

⁠.A

1

B

2－

A

2

B

1＝0

A

1

A

2＋

B

1

B

2＝0

Ax

＋

By

＋

m

＝0（

m

∈R且

m

≠

C

）Bx

－

Ay

＋

n

＝0（

n

∈R）回归课本1.判断：（1）

（RA选一P55练习第5题改编）已知两条不同直线

l

1，

l

2的方向向

量分别为（1，

k

），（－1，－

k

），则

l

1∥

l

2.

（

√

）

（3）

（RA选一P55思考题改编）当直线

l

1和

l

2的斜率都存在时，一定

有

k

1＝

k

2⇒

l

1∥

l

2.

（

✕

）

√✕✕√2.（RA选一P55练习第5题改编）经过

A

（0，2），

B

（－1，

k

）两点

的直线的方向向量为（1，4），则

k

的值为（

B

）B.－2D.2B

B4.（多选）（RA选一P58习题2.1第5、6题改编）对于直线

l

1：

ax

＋2

y

＋3

a

＝0，

l

2：3

x

＋（

a

－1）

y

＋3－

a

＝0，下列说法正确的是

（

BD

）A.

l

1∥

l

2的充要条件是

a

＝3C.直线

l

1一定经过点（3，0）D.点

P

（1，3）到直线

l

1的距离的最大值为5BD5.（RA选一P67习题2.2第7题改编）经过点（4，1）且在两坐标轴上的

截距相等的直线的方程为

.

x

－4

y

＝0或

x

＋

y

－5＝0

考点一

直线的倾斜角与斜率例1已知点

A

，

B

的坐标分别为（－1，0），（0，3）.若直线

l

：

ax

＋

y

＋2

a

－1＝0上存在点

P

，满足｜

PA

｜＋｜

PB

｜＝｜

AB

｜，则直线

l

的倾斜角的取值范围是（

A

）A

[对点训练]

A.

x

＝2B.

y

＝1C.

x

＝1D.

y

＝2

A（2）

过点（1，2）作直线

l

，满足在两坐标轴上的截距的绝对值相等

的直线

l

有（

C

）A.1条B.2条C.3条D.4条C

2.如图，直线

l

过点

P

（0，1），且与直线

l

1：

x

－3

y

＋10＝0和

l

2：2

x

＋

y

－8＝0分别相交于

A

，

B

两点.（1）

求过

l

1与

l

2的交点

C

，且与直线

CP

垂直的直线的方程；

[对点训练]（2）

若线段

AB

恰被点

P

平分，求直线

l

的方程.

考点三

两直线的位置关系例3（1）

已知过点

A

（－2，

m

）和点

B

（

m

，4）的直线为

l

1，直线

2

x

＋

y

－1＝0为

l

2，直线

x

＋

ny

＋1＝0为

l

3.若

l

1∥

l

2，

l

2⊥

l

3，则

m

＋

n

的值为（

A

）A.－10B.－2C.0D.8

A（2）

（2023·成都模考）已知

A

，

B

两点的坐标分别为（1，0），（－

1，2）.若两平行直线

l

1，

l

2分别过点

A

，

B

，则

l

1，

l

2间的距离的最大

值为（

D

）A.1C.2D3.将直线

l

1：

nx

＋

y

－

n

＝0，

l

2：

x

＋

ny

－

n

＝0（

n

≥2，

n

∈N*）与

x

轴、

y

轴围成的封闭图形的面积记为

Sn

，则

Sn

的最小值为

⁠.

[对点训练]

考点四

对称问题例4已知直线

l

：2

x

－3

y

＋1＝0，点

A

（－1，－2）.求：（1）

l

关于点

A

的对称直线l'的方程；解：（1）

设

P

'（

x

，

y

）为直线l'上任意一点，点

P

'关于点

A

的对称点

为

P

.

因为点

A

的坐标为（－1，－2），所以点

P

的坐标为（－2－

x

，

－4－

y

）.因为点

P

在直线

l

上，所以2（－2